Преобразование Лапласа, таблица изображений

Часть 3.           Операционное исчисление

Лекция 1

Преобразование Лапласа, таблица изображений.

Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, при котором функция  действительной переменной преобразуется в функцию  комплексной переменной по формуле     =.

Функция  называется  прообразом или оригиналом, функция называется образом или изображением (по Лапласу). Принято обозначать соответствие оригинала и изображения  .

Не всякая функция  может быть оригиналом, она должна удовлетворять определенным требованиям.

Рекомендуемые материалы

Требования, предъявляемые к оригиналу.

1. Условия Дирихле.

q На любом конечном интервале изменения аргумента функция  может иметь не более конечного числа точек разрыва и не более конечного числа точек экстремума.

q Допустимы только разрывы первого рода, разрывы второго рода не допускаются.

2. Условие физической реализуемости.   .

3. Функция  не может расти быстрее экспоненты. .

В операционном исчислении для обеспечения физической реализуемости любая функция умножается на функцию Хевисайда   - «единичный скачок» или единичную функцию. Это подразумевается, то есть всегда .

Теорема. Изображение определено в полуплоскости  и является в этой полуплоскости аналитической функцией.

= .

Следствие. Если - изображение, то

Доказательство. .

Найдем изображения по Лапласу единичной функции и экспоненты.

. .

.

Свойства преобразования Лапласа  (простейшие теоремы).

Линейность   (здесь , ). Докажите самостоятельно, опираясь на свойство линейности интеграла.

Следствие. .

Пример. Найдем изображения по Лапласу тригонометрических и гиперболических синуса и косинуса.

Теорема подобия. .

Доказательство. .

Примеры. ,

.

Теорема смещения. .

Доказательство.  

Здесь  по теореме об области определения изображения.

Примеры.

Заданы изображения  найти оригиналы .

.

.

Теоремы о дифференцировании и интегрировании.

Теорема о дифференцировании оригинала.

Пусть - оригинал. Тогда .

Доказательство. ,  так как .

Следствие. Если  - оригинал, то .

Доказательство.

….

Например, .

Теоремы о начальном и конечном значениях.

Теорема о конечном значении. .

Доказательство.  (теорема о дифференцировании оригинала). Перейдем к пределу при .

Предел левой части ,

Предел правой части . Приравнивая эти выражения, получим .

Теорема о начальном значении. .

Доказательство.  (теорема о дифференцировании оригинала).  - оригинал, поэтому . Поэтому .

Теорема об интегрировании оригинала. .

Доказательство. Обозначим . Это – оригинал (проверьте требования к оригиналу). . Обозначим . По теореме о дифференцировании оригинала . Так как , то .

Следовательно, .

Пример. .

.

Теорема о дифференцировании изображения. .

Доказательство. . Дифференцируем обе части по .

. Тогда .

Пример. Найти оригинал для изображения .

. Поэтому .

Пример. Найти изображение функции  двумя способами.

Вместе с этой лекцией читают "Новая глава Русь между Востоком и Западом".

1) . По теореме смещения .

2) . Дважды применим теорему о дифференцировании изображения: , .

Теорема об интегрировании изображения. Если  - оригинал, то .

Доказательство. Обозначим . Тогда .

По теореме о дифференцировании изображения  . Но  . Поэтому =  , так как .

Пример. .