Ряды Тейлора и Лорана
Ряды Тейлора и Лорана.
19.6.1. Ряд Тейлора. Пусть функция 
аналитична в области D, 
. Обозначим L окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L, 
. Представим множитель 
в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии: 
(так как 
, то 
) 
, и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать: 
, так как 
. Итак,
.
Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции 
. Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана
Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция аналитична в области D, , то функция может быть разложена в ряд Тейлора по степеням 
. Этот ряд абсолютно сходится к внутри круга 
, где r - расстояние от 
до границы области D (до ближайшей к точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.
Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.
19.6.1.1. Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений:
1. 
;
Рекомендуемые материалы
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
;
Все эти ряды сходятся к своим функциям на всей плоскости (при 
). Для геометрических прогрессий имеют место формулы
6. 
.
7. 
;
8. 
.
То, что эти ряды сходятся при 
, понятно. Ближайшие к центру разложения 
точки, в которых функции теряют аналитичность (граница области D) - это точки 
, в которых соответствующие функции неопределены.
9. 
.
В действительном случае вообще было непонятно, почему этот ряд перестаёт сходиться к 
при 
, ведь определена на всей действительной прямой. В комплексном случае это проясняется - на окружности 
расположены точки 
, в которых не определена.
При разложении многозначных функций необходимо выделить однозначную ветвь. Обычно задают значение функции в одной точке. Например, 
, k - целое. Возьмём ту ветвь логарифма, для которой 
, т.е. главное значение логарифма 
. На этой ветви 
, поэтому 
, и
10. 
.
Точка, в которой функция теряет аналитичность (она в этой точке вообще не определена) - это 
, поэтому ряд сходится при .
Теперь рассмотрим биномиальный ряд для функции 
. Это (при любом комплексном 
) общая степенная функция, поэтому 
(однозначная ветвь выделена тем, что взято главное значение логарифма); дальше находим производные: 
; аналогично 
; и т.д.; 
, поэтому
11. 
.
19.6.1.2. Решение задач на разложение функций в ряд. Техника решения этих задач ничем не отличается от действительного случая (см. раздел 18.2.6.2). Рассмотрим, например, задачу 6 из этого раздела: разложить функцию 
по степеням 
. Так как степень знаменателя равна двум, сначала разложим в ряд функцию 
, затем почленно продифференцируем его: 
. Круг сходимости 
. На границе круга сходимости ряд из модулей расходится, и общий член не стремится к нулю, поэтому в каждой точке окружности 
ряд расходится. Далее, 
. Все выводы о круге сходимости и поведении ряда на его границе остаются справедливыми.
19.6.3. Ряд Лорана. Пусть функция аналитична в кольце 
. Тогда для любой точки этого кольца 
; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.6.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: 
. Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора: (так как , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, где 
. Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на 
: 
. И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, где 
. Переобозначим 
, тогда форма коэффициентов ряда для совпадёт с формой коэффициентов ряда для 
: 
поэтому окончательно для интеграла по получим 
. Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть 
- кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце , и точка расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области 
; 
, поэтому для любого n 
, и
.
Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени 
), называется рядом Лорана функции . Его часть, содержащая неотрицательные степени (
), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени (
), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге 
, главная - во внешности круга 
, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце 
. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.
Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл, как только функция теряет аналитичность. Рассмотрим
Пример 1. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням 
функции 
.
Здесь 
; функция теряет аналитичность в точках 
. Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность:
1. 
; 2. 
; 3. 
. В каждой из этих областей разложение будет таким:
1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора. 
- таково разложение на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора каждую их них. 
, где ; 
; это разложение справедливо, если 
, т.е. в первой и второй областях. Окончательно в первой области 
. Этот ряд содержит только правильную часть.
2. В кольце знаменатель второй геометрической прогрессии (для дроби 
) по модулю 
, поэтому разложение остаётся в силе. Для первой дроби, с учётом того, что 
, получим 
=
. Это - главная часть ряда Лорана. Разложение имеет вид 
.
3. В кольце 
для первой дроби получим разложение так: 
или 
. Для второй дроби 
. Ответ можно записать и в форме 
, и в форме 
. В этом разложении имеется только главная часть.
Пример 2. Разложить функцию 
в ряд Лорана по степеням 
.
Решение. Здесь функция теряет аналитичность только в точке 
, поэтому 
. Главная часть здесь равна 
, остальные слагаемые образуют правильную часть.
Пример 3. Разложить функцию 
в ряд Лорана по степеням 
.
Бесплатная лекция: "Оценка маркетинговых возможностей" также доступна.
Решение. Здесь 
; функция теряет аналитичность только в точке и в точке 
, отстоящей от на расстоянии 4, поэтому имеется два кольца: 1. 
и 2. 
. 
. Первый множитель уже представлен в виде суммы по степеням , работаем со вторым. Третью степень в знаменателе получим, дважды дифференцируя разложение функции 
.
1. В первом кольце получаем 
, 
, 
,
.
Это и есть искомое разложение в первом кольце. Его можно преобразовывать, например, собрать вместе члены с одинаковыми степенями , выделить главную часть: 
и т.д., но это уже не принципиально.
2. Во втором кольце получаем 
, 
, 
, 
.
