Ряды с комплексными членами

Ряды с комплексными членами.

            19.3.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.

19.3.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел . Действительную часть числа  будем обозначать , мнимую -  (т.е. .

Числовой ряд - запись вида  .                                                         

Частичные суммы ряда:

Определение. Если существует предел S  последовательности частичных сумм ряда при , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут  или .

Найдём действительные и мнимые части частичных сумм: , где символами  и  обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями.

            Пример. Исследовать на сходимость ряд .

            Выпишем несколько значений выражения :  дальше значения периодически повторяются. Ряд из действительных частей: ; ряд из мнимых частей ; оба ряда сходятся (условно), поэтому исходный ряд сходится.

Рекомендуемые материалы

            19.3.1.2. Абсолютная сходимость.

Определение. Ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.

Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, можно доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд . Если ряд  сходится, а ряд   расходится, то ряд  называется условно сходящимся.

Ряд  - ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки ( от теорем сравнения до интегрального признака Коши).

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Составим ряд из модулей (): . Этот ряд сходится (признак Коши ), поэтому исходный ряд сходится абсолютно.

19.1.3.4. Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами:

Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .

            Если сходится ряд , то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

            Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .

            Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

            Сходящиеся ряды (А) и (В) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна .

            Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.

            Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.

Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим сумма  и , то их произведение при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна .

19.3.2. Степенные комплексные ряды.

            Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида

,

где  - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда),  - фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку . Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.

            Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

            Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

1. он абсолютно сходится в любой точке круга ;

2. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству  (т.е. находящейся дальше от точки , чем ).

Доказательство дословно повторяет доказательство раздела 18.2.4.2. Теорема Абеля для ряда с действительными членами.

Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R  с центром в точке , и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг - кругом сходимости. В точках границы этого круга - окружности  радиуса R  с центром в точке  - ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ряд из модулей имеет вид . Возможны такие случаи:

1. Ряд  сходится. В этом случае в любой точке окружности  ряд сходится абсолютно.

2. Ряд  расходится, но его общий член . В этом случае в некоторых точках окружности ряд может сходиться условно, в других - расходиться, т.е. каждая точка требует индивидуального исследования.

Вместе с этой лекцией читают "7.1 Кочевники Южной Сибири в средние века".

3. Ряд  расходится, и его общий член  не стремится к нулю при . В этом случае ряд расходится в любой точке граничной окружности.

Примеры.

1. . Ряд из модулей: . Признак Даламбера: . Радиус и круг сходимости определены. На границе круга сходимости - окружности  - ряд из модулей  сходится, следовательно, исходный ряд абсолютно сходится в любой точке этой окружности.

            2. . Ряд из модулей: . Признак Коши: .

На границе круга ряд из модулей имеет вид  . Предел общего члена , поэтому ряд расходится в любой точке граничной окружности.

3. . Ряд из модулей: . Признак Даламбера: . На границе круга сходимости ряд из модулей  расходится (интегральный признак Коши), однако общий член , поэтому в различных точках ряд может и сходиться, и расходится. Так, в точке   ряд имеет вид  и, как ряд Лейбница, сходится условно; в точке  ряд имеет вид , следовательно, расходится.