Решение дифференциальных уравнений
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальное уравнение – это соотношение вида
(7.1)
Здесь: 
- независимая переменная (аргумент), 
– искомая функция этого аргумента, 
– производные искомой функции. Левая часть равенства (7.1) представляет собой непрерывную функцию своих аргументов.
Порядок старшей производной, входящей в уравнение (7.1), называют порядком дифференциального уравнения. В естественных науках и технических приложениях чаще встречаются уравнения первого порядка
и уравнения второго порядка
Решить уравнение (7.1) – значит найти функцию, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество при всех допустимых значениях аргумента. Таких функций оказывается не одна, а целое семейство. При этом мы находим общее решение дифференциального уравнения. Это решение можно представить в виде
Рекомендуемые материалы
(7.2)
Здесь 
– произвольные постоянные интегрирования, число которых совпадает с порядком уравнения. Искомое семейство функций может быть также найдено в неявном виде:
(7.3)
Равенство (7.3) определяет общий интеграл дифференциального уравнения.
Числовые значения констант интегрирования определяются, если наряду с уравнением (7.1) заданы начальные условия
(7.4)
Число начальных условий должно равняться порядку уравнения. В начальных условиях могут быть заданы значения искомой функции, а также её производных, порядок которых меньше порядка дифференциального уравнения. Уравнение (7.1) вместе с начальными условиями (7.4) представляют собой задачу с начальными условиями. При решении такой задачи сперва получается общее решение (7.2), затем на основании условий (7.4) составляется система уравнений относительно неизвестных . Решение этой системы 
подставляется в общее решение (7.2). Это позволяет построить частное решение уравнения (7.1), удовлетворяющее начальным условиям (7.4). Частное решение представляет собой определенную функцию аргумента . Эта функция может быть задана неявно. В этом случае получается частный интеграл дифференциального уравнения.
Вопросы существования и единственности решения задачи с начальными условиями полно рассмотрены в учебной литературе. В рамках данных методических указаний заметим только, что в большинстве задач, связанных с инженерными приложениями, существуют решения, причем единственные.
Далее рассматриваются решения типовых задач.
Пример 7.1: Линейное уравнение первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной
Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения
(7.5)
удовлетворяющее начальному условию
(7.6)
Примечание: Уравнение (7.5) содержит искомую функцию и ее производную 
первой степенью. Таким образом, уравнение (7.5) – линейное уравнение первого порядка. Наличие свободного слагаемого делает уравнение неоднородным.
1. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
которое можно проинтегрировать, разделив переменные:
В результате получим
2. Используем полученное общее решение однородного уравнения. Будем искать общее решение данного неоднородного уравнения в виде
(7.7)
Примечание: Подстановка на место постоянной 
неизвестной функции 
называется вариацией произвольной постоянной.
Подставляя выражение (7.7) в уравнение (7.5), получим:
Интегрируем полученное уравнение, разделяя переменные:
Подставляя последнее выражение в равенство (7.7), получим:
(7.8)
В формуле (7.8) общее решение неоднородного уравнения представлено как сумма двух слагаемых: первое совпадает с общим решением однородного уравнения, второе является частным решением неоднородного уравнения.
3. Определим числовое значение постоянной 
из начального условия (7.6):
Тогда искомое решение задачи с начальным условием:
Пример 7.2: Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Решение дифференциального уравнения
может быть получено как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения
и частного решения данного неоднородного уравнения. Чтобы найти общее решение однородного уравнения, определим корни 
характеристического уравнения
и применим одну из стандартных формул:
если 
,
если 
,
если 
.
Частное решение рекомендуется построить методом неопределенных коэффициентов, ориентируясь по виду функции 
в правой части уравнения.
Рассмотрим далее следующую задачу: требуется найти общее решение дифференциального уравнения
(7.9)
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
(7.10)
1. Составим и решим характеристическое уравнение:
Тогда
- общее решение однородного уравнения, соответствующего данному.
2. Исходя из вида правой части уравнения (7.9), будем искать частное решение этого уравнения в форме 
. Тогда:
Получили 
, следовательно, 
.
3. Общее решение данного неоднородного уравнения представим в виде
.
В результате получим общее решение:
(7.11)
Дифференцируя выражение (7.11), находим:
Учитываем начальные условия:
Тогда
Получили частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:
Пример 7.3: Система дифференциальных уравнений
Рассмотрим далее задачу об общем решении системы дифференциальных уравнений. Ограничимся случаем, когда выполняются следующие условия:
1) система содержит уравнения первого порядка, разрешенные относительно производных;
2) независимая переменная не входит явно в уравнения;
3) уравнения линейные с постоянными коэффициентами, однородные.
Система принимает вид
Через 
обозначены искомые функции.
Возможна также матричная форма записи системы
(7.12)
где
.
Общее решение системы (7.12) допускает представление
. (7.13)
В формуле (7.13) 
– произвольные постоянные интегрирования, 
– линейно независимые частные решения системы. Частные решения можно найти в виде
Здесь 
– собственные числа матрицы 
, которые получаются как корни характеристического уравнения
. (7.14)
Вектор-столбец 
является ненулевым решением неопределенной системы линейных алгебраических уравнений.
(7.15)
Пусть требуется найти общее решение системы дифференциальных уравнений
Характеристическое уравнение (7.14) принимает вид:
При 
система (7.15) для рассматриваемой задачи принимает вид:
Полагая 
, получим 
. Возникает частное решение системы
При 
система (7.15) для рассматриваемой задачи принимает вид:
Полагая , получим 
. Возникает частное решение системы
Используя выражение (7.13), построим общее решение сначала в матричном виде
а затем в скалярной форме
Пример 7.4: Уравнения, допускающие понижение порядка
1. Общее решение уравнения вида 
можно получить путем повторного интегрирования правой части. Например,
2. Общее решение уравнения вида 
можно получить путем введения новой неизвестной функции
. (7.16)
Для этой функции получается вспомогательное уравнение
,
Лекция "Свойства и виды устноречевой коммуникации" также может быть Вам полезна.
порядок которого меньше, чем порядок исходного уравнения. Получив общее решение вспомогательного уравнения, подставляем его в правую часть равенства (7.16). Затем восстанавливаем искомую функцию. Для этого интегрируем уравнение (7.16) так, как было показано в пункте 1.
Найдем далее общее решение уравнения:
3. Уравнение вида 
не содержит явным образом независимую переменную x. Порядок такого уравнения понижается на единицу, если принять, что 
. В качестве примера найдем общее решение уравнения:
Получили общий интеграл данного уравнения.
