Расширение понятия числа через комплексные числа

Опорные конспекты  лекций.

Тема :   Функции комплексной переменной.

                                                  Комплексные числа.

Решение алгебраических  уравнений – важнейшая задача математики. Стремление сделать разрешимыми уравнения различных  типов  приводит к необходимости расширения понятия числа.

Вид  уравнения          Тип  числа               ____             Множество:

x  +  a  =  b                    отрицательные  и  0

a x  =  b                          дробные

Рекомендуемые материалы

                                                     ====== >     Q   -   рациональных чисел

 x ²   =  2                          иррациональные

                                                               =======>  R   -   действительных чисел

x²  +  1  =  0                   комплексные

                                                                        ========= >  C   -  комплексных  чисел        

          Корень уравнения   х²  =  - 1   наз.  мнимой единицей  и обозначается символом  i  (Эйлер). Символ   i  определяется  условием    i ²  =  - 1  .

Опр.  Комплексным числом  наз. выражение  вида   а  +  b i , где а, b R ,  i  - мнимая единица.

       Обозначения:    a + b i  =  z  ,   a  =  Re z  -  действительная часть КЧ,   b i  = Im z   -  мнимая часть КЧ,  b  -  коэффициент мнимой части. 

        При  а  =  0   имеем чисто мнимое число,    при  b = 0  -  действительное число. КЧ  z = a + b i    и   z* =  a – b i    наз.  сопряженными , а форма записи  КЧ  алгебраической.

Пр. Решим уравнение  x² – 2x + 5 = 0 . 

 x_1,2 = ( 2 )/2 = 1  = 1  = 1  = 1 2 i

Таким образом, корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются сопряженные КЧ.

Равенство  КЧ.      a + b i  =  c + d i  означает равенство коэффициентов : a = c,  b = d

Сложение  КЧ.     (a + b i)  +  (c + d i)   =  (a + c) + (b + d) i  -  означает раздельное сложение вещественных и мнимых частей.  (Это два определения.)

                               Пр.  z₁ = 2 – 3i ,   z₂  =  1 + 4i ,         z₁  +  z₂ =  3 + i  ,        z  +  z*  =  2 a

Умножение КЧ.        (a + b i)   (c + d i)   =   (a c  -  b d)  +  (a d +  b c)

                                Это обычное перемножение двучленов с учетом      i ²  =  - 1 .

                                Пр.  z₁  z₂   =  14 + 5 i  ,     z z* =  (a + b i)  (a - b i)  =  a²  +  b²

                                 т.е. произведение сопряженных КЧ есть число действительное.

Деление  КЧ.   Частным от деления двух КЧ  z₁ / z₂  является третье КЧ   z₃ , произведение которого на делитель дает делимое  z₃  z₂   =  z₁

                              Для того чтобы разделить два КЧ необходимо числитель и     знаменатель дроби умножить на КЧ сопряженное знаменателю

                                         a + b i   =   (a + b i)  (c – d i)    =   (a c + b d)  +  (b c – a d) i

                                         c + d i         (c + d i)  (c – d i)                        c²  +  d²  

                               Пр.  z₁ / z₂   =  - 10/17  -  11/17  i

Степени  i.           i¹  =   i               i^{4 n + 1}  =   i

                             i²  =  - 1             i^{4 n + 2}  =  - 1           Пр.  i²⁴  =  1,  i⁵⁹  =  i ^{56+ 3}  =  - i

                             i³  =  - i              i^{4 n + 3}  =  - i

                             i⁴  =   1              i^{4 n}      =    1      

Геометрическая интерпретация  КЧ.

Действительному числу соответствует точка на числовой оси, а КЧ  a + b i  соответствует точка   M(a;b)    на координатной плоскости или её радиус-вектор

Такая плоскость наз. комплексной плоскостью, ось Ох – действительной осью, ось Оу   - мнимой осью. Модулем КЧ наз. модуль радиус-вектора .

                                    | z |  =  r  =  = 

Аргументом  КЧ   z = a + i b  (Arg z) наз. угол  между  Ох  и . Он определяется неоднозначно, с точностью до  2.  Главное значение аргумента: arg z = ,   - <  < .

Arg z  =  arg z  +  2 k  ,  k = 1,2,3, . . .

Алгоритм вычисления аргумента:

1) найти острый угол   =  arctg | b/ a | ; 2) определить квадрант , в котором находится ОМ ;   3)  перейти от   к   по правилу :   в   1  четверти    =    ; во  2  четверти  = -   ; в  3  четверти   =   +   ;  в  4  четверти   = 2  - 

Пр. Найти аргумент   z =  1 – i  .

  =  arctg |- /1|  =  arctg     =  / 3 .  Вектор  OM  лежит в 4 четверти ,    следовательно,       Arg z =  ( 2 -   )  +  2 k   =  5/3  + 2 k ,    k  N

Сложение двух КЧ геометрически означает сложение двух радиус-векторов.

Тригонометрическая форма  КЧ.

Коэффициенты  КЧ   (a + b i )  можно выразить  через его модуль  и аргумент :

{ cos   = a/ r  , sin   = b/ r }          { a = r cos   ,  b = r sin  } 

и записать КЧ в форме                             z  =  r [ cos (+ 2 k )    +   sin (+ 2 k ) ],

которая наз. тригонометрической формой  КЧ

Пр. Записать число   z  =  -  -  i    в тригонометрической форме.

Находим модуль  r  = [(-)² + (-1)² ]^{1/ 2}  = 2. Определяем  =  arctg 1/ =/6. Вектор    в  3  четверти  arg z = +/ 6 = 7/ 6,  z  = - - i  =  2( cos7/ 6  + i sin 7/ 6 ).

Пр. Записать число  z  =  2 (cos 330⁰  +  i sin 330⁰ )   в алгебраической форме.

cos 330⁰ = cos (360⁰ – 30⁰) = cos 30⁰ =  /2,    sin 330⁰ =  sin (360⁰ – 30⁰)  = - sin 30⁰  = -1/2 ,

тогда   a  =  2 (/ 2)  =   ,   b  =  2 (-1/2)  =  -1    и    z  =   -  i .

При перемножении и делении двух  КЧ   в тригонометрической форме

z₁  =  r₁ ( cos ₁  +  i  sin ₁ )  ,      z₂   =  r₂  ( cos ₂  +  i  sin ₂ )

используют тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и получают

                              z₁  z₂       =  r₁ r₂ (  cos (₁ + ₂ )   +   i  sin  (₁ + ₂ )  )

                         z₁ / z₂    =  r₁/ r₂ (  cos (₁ - ₂ )   +   i  sin  (₁ - ₂ )  )

                     z ⁿ  =  [r ( cos   +  i  sin  )] ⁿ  = r ⁿ ( cos n   +  i  sin n )

   =  [ cos (+ 2 k)/ n +  i  sin (+ 2 k)/ n ) ]  , где  k = 0,1,2, . . ., n – 1 .

Умножение КЧ теперь сводится к умножению их модулей и сложению аргументов, а деление КЧ к делению модулей и вычитанию аргументов. Появление  n решений при извлечении корня связано с тем, что все значения  Arg z = (+ 2 k )     уменьшаются в  n  раз и  самые первые  n  значений аргумента становятся меньше  360⁰ , т.е. становятся главными значениями аргумента -  arg z .  Они различны, но при возведении корней   в степень  n  получаем одинаковый результат.

Пр.    Пусть  arg z = 40⁰, тогда  Arg z = arg z  +  2k ,  где  k = 0,1,2, . . .  или

z         40⁰ , 400⁰ , 760⁰ , 1120⁰ ,…      Имеем  1  главное значение аргумента.

z²        80⁰ , 800⁰ , 1520⁰ , 2240⁰ , …   Имеем  1  главное значение аргумента.

z^1/2      20⁰ , 200⁰ , 380⁰ , 560⁰ , …       Имеем  2  главных значения аргумента.

z^1/4       10⁰ , 100⁰ , 190⁰ , 280⁰ , …      Имеем  4  главных значения аргумента.

Показательная форма КЧ.

Существует формула  Эйлера   exp (i )  =  cos   +  i sin   ,  которая приводит к показательной форме КЧ

               z  =  a  + i b  =  r (cos   +  i  sin )  =  r exp (i )

                            ( I )                            ( II )                     ( III )

В алгебраической форме  ( I )  КЧ  удобно складывать и вычитать, а в тригонометрической форме  ( II )  и в показательной  ( Ш )  умножать, делить.

  =    ,    /   = 

  ,   , где  k = 0,1,2,3, . . . , n - 1 .

Рассмотрим извлечение корней из действительных чисел. Пусть z = a и a > 0 , т.е. перед числом  а  стоит множитель   1 = (cos 0 + i sin 0)  или    – 1 = (cos  +  i sin).  Тогда,  при  z > 0    z^1/n = а^1/n (cos + i sin), где  k = 0,1,2, . . ., n – 1 , а  при  z < 0    z^1/n = а^1/n (cos + i sin),

  Пр.   = (cos 0 + i  sin 0)^1/4    =    cos  2k/4 + i sin 2k/4 , 

где  k = 0,1,2, 3.    Получаем корни :

 z ₀ = (cos 0  +  i sin 0) =    1,    z ₁ = (cos /2  +  i sin /2) =    i ,   

 z ₂ = (cos  + i sin) = - 1 ,   z ₃ = (cos 3/2 + i sin3/2) = - i

        Проверка :      ( 1 )⁴ = ( i )⁴ = ( -1 )⁴ = ( -i )⁴  =  1 .

Пр.  Вычислить  ( - 81 )^1/.4  .  Решение  (- 81 )^{1/ 4}   =  ( - 1 81 )^1/4  =  ( cos  + i sin )^{1/ 4}

    =  3 (  cos (+ 2 k )/ 4   +   i   sin (+ 2 k )/ 4 ) ,   k = 0, 1, 2, 3 .

z₀  =  3( cos / 4  + i  sin /4 )                               = 3/( 1 +  i )

z₁  =  3 ( cos (/4 +/2   ) +  i sin(/4 +/2))     = 3/( 1 -   i )   

z₂  =  3 ( cos (/4 +      ) +  i sin(/4 +  ) )     = 3/( -1 -  i )         

z₃  =  3 ( cos (/4 + 3/2) +  i sin(/4 + 3/2) ) = 3/( 1  -  i )

Решения изображают 4 вектора с  r = 3/  и ₀= /4,  ₁ =3/4,  ₂ =5/4, ₃  =7/4

Таблица 1                         .       0⁰    30⁰      45⁰          60⁰            90⁰

                                        sin   0     1/2    /2    /2       1

                                        cos   1  /2   /2      ½           0

Таблица 2

                      90⁰-      90⁰+      180⁰-     180⁰+     270⁰ -     270⁰ +     360⁰ - .

sin       sin     cos        cos        sin        - sin       - cos       - cos     - sin

cos      cos     sin       - sin      - cos        - cos       - sin         sin       cos

Пр. Даны  z₁ = 12 ( cos 225⁰ + i sin 225⁰) ,  z₂ = 3/2 ( cos 75⁰ + i sin 75⁰). Найти  z₁  z₂  ,  z₁ /z₂

       z₁ z₂ =  18 ( cos (225⁰+ 75⁰) + i sin (225⁰ + 75⁰)) = 18 (cos(360⁰ – 60⁰) + i sin(360⁰ – 60⁰)) =

               =  18 ( cos 60⁰  - i sin 60⁰ )  =  18 ( ½  -  i /2 )  =  9  -  9 i

       z₁/ z₂  =  8 (cos (225⁰– 75⁰)  +  i sin(225⁰ – 75⁰)) = 18 (cos (180⁰ – 30⁰) + i sin (180⁰– 30⁰)) =

               =   8 (- cos 30⁰  + i sin 30⁰ )  =  8 ( - /2  + i ½ )  =  - 4  +  4 i

Ряды  с  КЧ.

Рассмотрим ряд     (a) с общим членом  z_n = x_n  + i y_n . Он разделяется на два ряда с действительными числами и . Из сходимости этих рядов следует сходимость исходного ряда. Составим ряд (b) из модулей|z_n| = Т.к. |x_n| < r_n , |y_n| < r_n , то из сходимости ряда  (b)   по признаку сравнения  следует сходи-мость рядов и  , что обеспечивает абсолютную сходимость ряда (a).  Таким образом,    ряд с КЧ абсолютно сходится, если сходится ряд из модулей этих КЧ. !!!

Рассмотрим степенной ряд (с), где a_n , z  - КЧ. Составим ряд из модулей  ,  где A_n =  |a_n|  , r = |z|.    По теореме Абеля такой ряд сходится в интервале 

-R < r < R .  Следовательно, степной ряд  (с) сходится для  z  из круга радиуса R :  |z| < R.

"2 Межгрупповые конфликты" - тут тоже много полезного для Вас.

Области и линии на комплексной плоскости.

От  КЧ  z = a + ib  перейдем к комплексной переменной величине (КП)    z = x + iy , где  x, y  могут изменяться в определенных пределах.

Опр.  - окрестностью точки   z₀   наз. множество всех точек   z ,    для которых      |z – z₀| <,   > 0 . В проколотой   - окрестности исключается сама точка z₀.  Областью  G  комплексной плоскости наз. множество точек, каждая из которых имеет свою - окрестность и может быть соединена с другими точками  непрерывной кривой. Границей области  G  наз. множество точек, которые не принадлежат  G , но в ближайшей окрестности имеют точки из  G.

Область комплексной плоскости, в пределах которой изменяется КП, наз. односвязной, если ее ограничивает непрерывная, замкнутая и не самопересекающаяся линия (кривая Жордана). Если область ограничена несколькими замкнутыми линиями (n), то она наз. многосвязной. В качестве дополнительного контура может быть отдельная точка или линия.

Любую кривую на плоскости F(x,y) = 0 можно представить в комплексной форме. Достаточно сделать замену  x = (z + z*)/2 , y = (z – z*)/2i. Тогда уравнения оси Ох и