Метод получения топологических уравнений на основе матрицы контуров и сечений

Метод получения топологических уравнений на основе матрицы контуров и сечений.

Метод, основанный на использовании информации, заключенной в М-матрице (в матрице контуров и сечений), - наиболее удобный и общий метод получения топологических уравнений.

М-матрица строится на основании ориентированного графа эквивалентной схемы и выбранного для этого графа дерева. Количество столбцов матрицы соответствует числу, ветвей дерева, а количество строк - числу хорд.

Процедура формирования М-матрицы заключается в следующем: каждая хорда графа поочередно включается в дерево, при этом образуется замкнутый контур. Обход этого контура выполняется в направлении, заданном направлением хорды; в строке матрицы, соответствующей данной хорде, ставится +1, если направление ветви дерева совпадает с направлением обхода контура, -1, если направление ветви дерева противоположно, 0, если ветвь не входит в данный контур.

Рассмотрим получение матрицы контуров и сечений для графа, показанного на рис. 2. М-матрица этого графа представлена в таблице 2.

Таблица 2.

При подключении хорды а образуется контур из ветвей дерева б, е, ж, в столбцах матрицы, соответствующих ветвям б и ж, появится -1, в столбце, соответствующем ветви е, будет +1, остальные столбцы содержат 0. Аналогично заполняются и другие строки.

Топологические уравнения с использованием М-матрицы имеют вид

                                (1)

                                 (2)

где U_в.д, U_х - векторы переменных типа разностей потенциалов на ветвях дерева и хордах; I_в.д, I_х - векторы переменных типа потока для ветвей дерева и хорд; М^t транспонированная М-матрица.

Рекомендация для Вас - Модели надежности ПО.

Для М-матрицы таблицы 2 имеем:

где U_i и I_i - переменные типа U и I для ребра i.

Уравнение (1) есть не что иное, как уравнение второго закона Кирхгофа (или ему аналогичное согласно аналогиям топологических уравнений), записанное в матричной форме, а (2) - уравнение первого закона Кирхгофа (или ему аналогичное) для сечений дерева. Линии сечений графа (рис. 3) отмечены пунктирными линиями.

Примечание. Сечения дерева специально выбирать не надо. Уравнения для сечений получаются из М-матрицы, для построения которой сечения не привлекаются, и на рис. 2 они отмечены для визуальной проверки полученных уравнений.

Количество топологических уравнений равно количеству ветвей эквивалентной схемы.