Переход от исходного дифференциального уравнения интегральному

Переход от исходного дифференциального уравнения интегральному.

Рассмотрим на простом примере алгоритм перехода. В двухмерной однородной области произвольной формы с коэффициентом проницаемости k требуется найти распределение функции , описанной уравнением

                                                   (1),

которое является частным случаем квазигармонического уравнения  (1.1) при .

На границе L рассматриваемой области заданны граничные условия первого рода

                                                                    (2)

Этап 1. Нахождение сингулярного решения. В МГЭ используется то обстоятельство, что для большинства уравнений в частных производных существуют сингулярные (фундаментальные) решения, отвечающие единичным возмущающим воздействиям в неограниченной области. Для рассматриваемой задачи сингулярное решение записывается в виде

                                                           (3)

где  - значение искомой функции в произвольной точке области;  - единичное возмущающее воздействие, приложенное в точке .

Рекомендуемые материалы

Начала координат для систем х и  совпадают. Величина  определяется, в свою очередь уравнением

,

где  и  выбрано так, что G=0 при . Уравнение (3) определяет искомую функцию  относительно некоторого нулевого значения при .

Рекомендуем посмотреть лекцию "Реализация межсетевого взаимодействия".

Этап 2. Введение фиктивных источников. Рассматриваемая область G1 «помещается» в бесконечную область, для которой известно решение (3). Потребуем, чтобы значения  на границе области совпадали с заданным граничным условием (2). Чтобы это требование выполнялось, введем на границе фиктивные источники неизвестной интенсивности  в расчете на единицу длины границы L. Подставив  в (3) и проинтегрировав его по длине границы, получим; искомое решение:

                                    (4)

В результате проделанных действий от исходного дифференциального уравнения (1) удалось перейти эквивалентному интегральному уравнению (4), в котором появилась произвольная постоянная С, обеспечивающая единственное решение в связи с тем, что функция  рассчитывается относительно некоторого нулевого значения. В дальнейшем С подбирается таким образом, чтобы суммарное «излучение» от всех источников обращалось в нуль на бесконечно удаленной границе. Для обеспечения заданных граничных условии необходимо, чтобы выполнялось равенство

                                          (5)

На основании равенства (5) строится система интегральных уравнений относительно неизвестных фиктивных источников . После того как они будут найдены значения искомой функции  в любой внутренней точке области легко определяются из (4).

Если бы (5) удалось проинтегрировать аналитически, то для исходной задачи было бы найдено точное решение. На практике (5) решается приближенно, что является единственным источником погрешности в МГЭ.