Метод граничных элементов
Метод граничных элементов.
При решении краевых задач приближенные модели технических объектов можно строить на основе интегральных уравнений. При этом первый шаг на пути к решению состоит в переходе от дифференциальных уравнений в частных производных к эквивалентным интегральным уравнениям. Во многих случаях, когда такой переход оказывается успешным, решение исходной задачи может быть получено с минимальными вычислительными затратами и высокой степенью точности. Кроме того, размерность исходной задачи понижается на 1, двухмерные задачи преобразуются в одномерные.
Примером указанного подхода к решению краевых задач служат методы интегральных граничных элементов (МГЭ). Развитие МГЭ началось сравнительно недавно, причем мощным стимулом к этому послужило создание быстродействующих ЭВМ. Все разновидности МГЭ используют принцип суперпозиции, поэтому область их применения ограничена классом полностью линейных или линейных относительно приращений задач. Однако к такому классу относятся многие важные для развития техники задачи, например МГЭ успешно используются для решения задач теории упругости, механики жидкости и газов.
Все МГЭ строятся на основе общих принципов. При этом различают прямые и непрямые МГЭ.
В прямых МГЭ искомыми переменными краевой задачи являются величины, имеющие реальный физический смысл, например, в задачах теории упругости - усилия и смещения, возникающие в элементах конструкции.
В непрямых МГЭ решение исходной задачи выражается через функции плотности, которые сами по себе не имеют реального физического смысла. После того как функции плотности найдены, значения реальных физических параметров задачи могут быть получены из них путем простого интегрирования.
В любом варианте МГЭ результатом перехода от дифференциальных уравнений в частных производных к интегральным уравнениям в конечном счете является система уравнений, включающая значения переменных только на границе заданной области. Поэтому в отличие МКЭ и МКР последующая дискретизация задачи проводится только на границе исследуемой области. Последнее обусловливает, во-первых, более высокую по сравнению с МКР и МКЭ точность решения, во-вторых, существенно меньший объем входных данных при реализации методов на ЭВМ.
