Ряды
Глава 11. Ряды.
§1. Сумма ряда. Сходимость ряда.
u1 + u2 + … + un + … (1) числовой ряд. un - общий член ряда (1)
n – я частичная сумма ряда (1) Sn = u1 + u2 + … + un íuný®íSný
$ сходится расходится
§2. Свойства сходящихся рядов.
Т.1 (1) сходится = S Þ cu1 + cu2 + … + cun + … = å(cun) сходится = cS
Рекомендуемые материалы
Т.2 åun åvn Su, Sv Þ å(un + vn) , å(un – vn) Su + Sv Su - Sv
Т.3 «Сходимость ряда определяется его «хвостом» »
§3. Необходимый признак сходимости ряда.
Т.4 åun сх. Þ un ® 0 при n ® ¥
Гармонический ряд расходится ( = ¥ )
§4. Сравнение рядов.
Т.5 а) "n un ³ 0 б) "n un £ vn в) åvn сх. Þ åun сходится
Т.6 (предельный признак сравнения) "n un > 0, vn > 0 $ , 0 < q < +¥ Þ åun åvn
§5. Признак Даламбера.
Т.7 åun (1) , un ³ 0,
§6. Признак Коши (радикальный).
Т.8 åun (1) , un ³ 0,
Формула Стирлинга , 0 < q < 1
§7. Интегральный признак.
Т.9 f(x) > 0, монотонна при x ³ 1 "nÎN f(n) = un Þ (1) сх. одновременно с
V(р) = ån-p при p>1 сх., при p£1 расх.
§8. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
, un ³ 0 (2)
Т10. u1³ u2³…³ un³ un+1³… un= 0 Þ (2) сх. £ u1
Следствие. Для (2) ½Sn - S½ £ un+1
§9. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Т.11. (1) (3) сх. Þ (1) тоже сх. ( Если ряд абсолютно сходится, то он сходится)
Условно сходящийся – сходится, но не абсолютно.
Достаточные признаки для знакопеременных рядов
Даламбера $, радикальный Коши $, интегральный f(n) = ½un½
Т.12. Если ряд абс. сходится, то он остается абс. сходящимся при любой перестановке его членов.
Т.13. Если ряд сх. условно, то "А можно так переставить члены этого ряда, что его сумма будет =А.
§10. Понятие о функциональном ряде.
fn(x), nÎN D f1(x) + f2(x) + … + fn(x) +… = (4) x0ÎD xÎD1ÌD
По признакам Даламбера и Коши
абсолютная сходимость (4) при l(x)<1, расходимость при l(x)>1
§11. Степенные ряды. Теорема Абеля.
a0 + a1(x – x0) +a2(x – x0)2+…+an(x – x0)n+… = å an(x – x0)n (5) x – x0
a0 + a1x +a2x2+…+anxn+… = å anxn (6)
T.14. (6) сх. при x0¹0 Þ абс. сх. при "x: ôxô<ôx0ô (6) расх. при x = x1 Þ расх. при "x: ôxô>ôx1ô
Радиус сходимости R Þ
§12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Т.15. ôx – x0ô<R (5) – непрерывная функция
Т.16. ôx – x0ô<R (5) можно дифференцировать
Т.17. ôx – x0ô<R (5) можно интегрировать по отрезку внутри ôx – x0ô<R от х0 до х
§13. Разложение функций в ряд Тейлора.
T.18. f(x) ôx – x0ô<R
§14. Приложения степенных рядов.
А. Вычисление значений функций
Погрешность
Б. Интегрирование функций
В. Решение дифференциальных уравнений
§15. Понятие о рядах Фурье.
Тригонометрическая система функций 1,cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, … , cos nx, sin nx, …
Вместе с этой лекцией читают "13. Практическое применение уравнения Д. Бернулли".
ортогональной на [-p,p]
Если , то коэффициенты
Фурье f(x)
Ряд f(x) четная bk=0 f(x) нечетная ak=0
T.19. Если периодическая f(x) с периодом 2p имеет на [-p,p] конечное число точек разрыва 1 рода, то S(x) сходится к f(x) в каждой точке непрерывности и к ½[f(x+0)+f(x-0)] в точках разрыва