Дифференциальные уравнения
Глава 10. Дифференциальные уравнения.
§1. Уравнения 1-го порядка.
F(x,y,y¢) = 0 y¢ = f(x,y) (1) (a,b) y = j(x) j¢(x) F(x,y) = 0
y = j(x,C) y = j(х,C0) F(x,y,C) = 0
§2. Уравнения с разделяющимися переменными.
y¢ = f(x,y) f(x,y) = f1(x)f2(y)
Рекомендуемые материалы
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, M(x,y) = M1(x) M2(y), N(x,y) = N1(x)N2(y)
y¢ = f(ax + by +d), b¹0 u(x) = ax + by(x) +d Þ u¢ = a + b f(u)
§3. Однородные уравнения.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $kÎR: M(tx,ty) = tkM(x,y), N(tx,ty) = tkN(x,y), t¹0
к однород., « = » Þ к ур-ям с разд. перем.
§4. Линейные уравнения 1-го порядка.
y¢ = P(x).y + Q(x) Q(x)º0 Þ y¢ = P(x).y
1) Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа)
2) Метод подстановки y(x) = u(x).v(x) Þ u = u1(x), v = v(x,C) Þ y(x)
§5. Уравнение Бернулли.
y¢ = P(x).y + Q(x).ym m¹0, m¹1
1) Подстановка z = y1-m m>1 y = 0
2) Метод подстановки y(x) = u(x).v(x) Þ
u = u1(x), v = v(x,C) Þ y(x)
§6. Теорема существования и единственности решения.
Задача Коши для уравнения y¢ = f(x,y) начальному условию у(х0) = у0
Теорема 1. (Коши) D Oxy f¢y(x,y) (x0,y0)ÎD x0 – h < x < x0 + h
Особое решение y = j(x,C)
§7. Дифференциальные уравнения высших порядков.
F(x,y,y¢,y²,…,y(n)) = 0 y(n) = f(x,y,y¢,…,y(n-1)) (2)
Начальные условия y(x0) = y0, y¢(x0) = y1,…, y(n-1)(x0) = yn-1 (3)
y = j (x,C1, C2,…,Cn)
Теорема 2 (существования и единственности решения задачи Коши)
(2) f(x,y,y¢,…,y(n-1)) D (x0,y0,y1,…,yn-1)ÎD x0 - h < x < x0 +h
§8. Уравнения, допускающие понижение порядка.
а) y(n) = f(x) y = òdxòdx…òf(x)dx + Pn-1(x)
б) F(x, y(k),…,y(n)) = 0 y(k) = z(x)
в) F(y, y¢,…,y(n)) = 0 y¢ = p(y) Þ
г)
§9. Линейные однородные уравнения.
y(n) + a1(x)×y(n-1) + … + an-1(x)×y¢ + an(x)×y = 0 (4)
y1(x) y(x) = y1(x)×z(x) (n-1)-го порядка
Теорема 3 система функций у1(х), у2(х), … , уn(х) (4) определитель Вронского
Общее решение (4) y0(x) = C1×y1(x) + C2×y2(x) + … + Cn×yn(x) фундаментальной
§10. Линейные неоднородные уравнения.
y(n) + a1(x)×y(n-1) + … + an-1(x)×y¢ + an(x)×y = f(x) (f(x) ¹ 0) (5)
y(x) = y0(x) + y*(x) y0(x)- общее решение (4) y*(x) - частное решение (5)
Если известны у1(х), у2(х), … , уn(х), то можно найти y*(x) методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.
В частности, для уравнения 2-го порядка y² + a1(x)×y¢ + a2(x)×y = f(x) (6)
сначала решают однородное уравнение y² + a1(x)×y¢ + a2(x)×y = 0 ,
получают фундаментальную систему у1(х), у2(х) и общее решение y0(x) = C1×y1(x) + C2×y2(x),
затем по методу Лагранжа общее решение (6) ищут в виде y(x) = C1(x)×y1(x) + C2(x)×y2(x) ,
где C1¢(x) и C2¢(x) находят из системы
, после чего интегрированием находят C1(x) и C2(x)
§11. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Общий вид y(n) + a1y(n-1) + … + an-1y + any = 0 (7)
Характеристическое уравнение ln + a1ln-1 + … + an-1 l + an = 0 (8)
веществ. корням l кратности r уравнения (8) « r лин. незав. решений (7) elx, x× elx, … , xr-1× elx
паре компл. l = a ± bi кратности s уравнения (8) « s пар лин. незав. решений (7)
eaxcos bx, x×eaxcos bx, … , xs-1×eaxcos bx; eaxsin bx, x×eaxsin bx, … , xs-1×eaxsin bx
§12. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
Общий вид y(n) + a1y(n-1) + … + an-1y + any = f(x) (9)
y(x) = y0(x) + y*(x) y0(x)- общее решение (7) y*(x) - частное решение (9)
Специальные виды f(x) в уравнении (9):
I. f(x) = ( d0xm + d1xm-1 + … + dm)ekx
II. f(x) = [(a0xk + a1xk-1 + … + ak)×cos qx + ( b1xl + b2xl-1 + … + bl)×sin qx]×epx
метод неопределенных коэффициентов
а) k и p ± iq - не корни (8) Þ y* ищется в виде
I. y* = ( D0xm + D1xm-1 + … + Dm)ekx
II. y* = [(A0xM + A1xM-1 + … + AM)×cos qx + ( B1xM + B2xM-1 + … + BM)×sin qx]×epx, M = max( k, l )
б) k или p ± iq совпадают с корнем (8) кратности r Þ y* ищется в виде
I. y* =xr ( D0xm + D1xm-1 + … + Dm)ekx
II. y* =xr [(A0xM + A1xM-1 + … + AM)×cos qx + ( B1xM + B2xM-1 + … + BM)×sin qx]×epx, M = max( k, l )
§13. Понятие системы дифференциальных уравнений.
Люди также интересуются этой лекцией: 2. Исторические и теоретические основы.
k уравнений x и k функций y1(x), y2(x), … , yk(x)
каноническая, n = p1 + p2 + … + pk порядок системы
p1 = p2 = … = pk = 1 нормальная система
Решение на (a,b) y1 = j1(x), y2 = j2(x), … , yk = jk(x)
y(n) = f(x,y,y¢,…,y(n-1)) (2)