Ряд Тейлора
Ряд Тейлора
Теорема. Если 
-аналитическая в круге 
, то 
, радиус сходимости ряда не меньше R.
Док-во:
;
Это верно, когда 
.
.
Функциональный ряд * мажорируется сходящимся числовым рядом 
, таким образом ряд * сходится равномерно 
его можно интегрировать почленно.
Рекомендуемые материалы
;
Утв. Если 
сходится при , то на окружности радиуса R есть особые точки.
Док-во:
Предположим противное: все точки окружности – точки аналитичности.
Покроем окружность системой окрестностей ее точек, расширим область аналитичности. Тогда существует окружность радиуса 
, внутри которой функция аналитическая, следовательно ряд сходится в круге радиуса 
-не радиус сходимости, и мы приходим к противоречию.
Опр1. Точка 
называется нулем функции 
, если аналитическая в точке и .
Опр2. Точка называется нулем кратности k (нулем k-ого порядка) функции , если:
Пример.
- нуль функции
, таким образом точка z=0-нуль кратности 3.
Лемма. Если , 
аналитические в точке 
, 
лежит в области аналитичности f и 
, 
, при 
, то 
в некоторой окрестности точки .
Док-во:
при
при
и т.д.
, следовательно .
Теорема. задана на последовательности точек , - аналитическая, то определяется значениями 
единственным образом во всей своей области определения.
Док-во:
Пусть и аналитические и совпадают 
. Докажем, что они совпадают всюду. Применим Лемму к точке : в некоторой окружности с центром и совпадают. Возьмем точку пересечения этой окружности с ломаной -
. 
. К точке также применяем Лемму.
Далее строим следующую окружность. Таким образом за конечное число шагов мы дойдем до точки z и совпадают в z и .
Оценки Коши коэффициентов ряда Тэйлора
Теорема. Если 
, 
, то 
.
Док-во:
.
Лекция "3 - Физиологические свойства нервов" также может быть Вам полезна.
Теорема Ляувилля. Если аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена, то =const.
Док-во:
, 
,
; 
.
