Ряды функций комплексного переменного
Ряды функций комплексного переменного
Опр.
1. Ряд называется равномерно сходящимся в области Q, если:
, ,
2. Если N зависит от z, то сходимость неравномерная.
Теорема. Если непрерывны на дуге L, ряд равномерно сходится на дуге L, , то .(ряд можно почленно интегрировать)
Теорема Вейерштрасса.
Если G- связная область, -аналитические в G,
Рекомендуемые материалы
- ряд, равномерно сходящийся к в G, то
1) f(z) аналитическая в G,
2) замкнутой области ряд из производных сходится равномерно к производной:
.
Док-во:
1) Возьмем произвольную точку z G и окружим ее контуром Г,
Тогда:;
;
; ;
;
;
;
перейдя к пределу, получим:
, таким образом f(z) аналитическая функция.
2) Возьмем контур , такой что внутри .
Рассуждая также, как при доказательстве 1), получаем при n>N, z внутри .
внутри .
Тоже самое можно сделать для точки, принадлежащей замкнутой области (покрыть ее окружностью, внутри которой сходимость ряда равномерна). Таким образом, область покрыта окружностями . Т.к. замкнутая область - компакт, следовательно можно выделить конечное подпокрытие: .
Информация в лекции "2.2 Система команд" поможет Вам.
, таким образом доказана равномерная сходимость ряда производных в .
Следствие. Если выполнены условия теоремы Веерштрасса, то .
Теорема Абеля. Если , то если : -ряд сходится, -ряд расходится; -ряд сходится равномерно.
Утв. Если , то аналитическая в круге радиуса R.
Док-во:
В силу теоремы Веерштрасса аналитическая в кольце , но т.к. r выбирается произвольно, то аналитическая в круге.