Ряд Тейлора

Ряд Тейлора

Теорема. Если -аналитическая в круге , то , радиус сходимости ряда не меньше R.

Док-во:

;

Это верно, когда .

.

Функциональный ряд * мажорируется сходящимся числовым рядом , таким образом ряд * сходится равномерно  его можно интегрировать почленно. 

Рекомендуемые материалы

;

Утв. Если сходится при , то на окружности  радиуса R есть особые точки.

Док-во:

Предположим противное: все точки окружности – точки аналитичности.

Покроем окружность системой окрестностей ее точек, расширим область аналитичности. Тогда существует окружность радиуса , внутри которой функция аналитическая, следовательно ряд сходится в круге радиуса -не радиус сходимости, и мы приходим к противоречию.

Опр1. Точка  называется нулем функции , если  аналитическая в точке  и .

Опр2. Точка  называется нулем кратности k (нулем k-ого порядка) функции , если:

Пример.

        

          - нуль функции

        

        

, таким образом точка z=0-нуль кратности 3.

Лемма. Если ,  аналитические в точке ,          лежит в области аналитичности f и ,  , при , то  в некоторой окрестности точки .

Док-во:

                   при

                    

                   при

                    

и т.д.

   , следовательно .

Теорема.  задана на последовательности точек , - аналитическая, то  определяется значениями  единственным образом во всей своей области определения.

Док-во:

Пусть  и  аналитические и совпадают . Докажем, что они совпадают всюду. Применим Лемму к точке : в некоторой окружности с центром   и  совпадают. Возьмем точку пересечения этой окружности с ломаной -. . К точке  также применяем Лемму.

Далее строим следующую окружность. Таким образом за конечное число шагов мы дойдем до точки z  и  совпадают в z и .

Оценки Коши коэффициентов ряда Тэйлора

Теорема. Если , , то .

Док-во:

.

Лекция "3 - Физиологические свойства нервов" также может быть Вам полезна.

Теорема Ляувилля. Если  аналитическая на всей комплексной плоскости и ограничена, то =const.

Док-во:

        

         , ,

         ;

         .