Криволинейные интегралы
16.3. Криволинейные интегралы.
16.3.1. Введение. Рассмотрим следующую физическую задачу. Пусть в пространстве Oxyz вдоль кривой перемещается материальная точка под воздействием силы ; при этом сила может меняться от точки к точке. Требуется найти работу, которая совершается силой.
В случае, когда в качестве берётся - прямолинейный отрезок (левая часть рисунка), и - постоянная сила, работа есть скалярное произведение силы на вектор перемещения точки: . Это выражение можно трактовать двумя способами.
1. По определению скалярного произведения . Здесь, - угол между . Обозначим , тогда .
2. Если расписать скалярное произведение в координатной форме, то .
Пусть теперь - произвольная гладкая ограниченная кривая, и сила может меняться от точки к точке (правая часть рисунка). Чтобы свести этот случай к предыдущему, разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , и, считая, что дуга - прямолинейный отрезок - вектор длины , и сила вдоль этого отрезка постоянна и равна , получим, что работа вдоль этой дуги близка к (). Как мы видели, это выражение можно представить и в виде
(где - угол между и ), и в виде . Суммируя эти выражения по всем дугам, получим выражения двух интегральных сумм: и . Переход к пределу в этих интегральных суммах при приведёт к двум криволинейным интегралам: и . Первый из этих интегралов называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги; второй - криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координатам. Несмотря на то, что они описывают одну и ту же физическую величину, с математической точки зрения это разные объекты. Они имеют разные определения и разные свойства. В частности, криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления прохождения кривой: (так как угол между силой и кривой входит в подынтегральную функцию в явном виде), в то время как криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изменении направления прохождения кривой: (вектор , координаты которого входят в интегральную сумму, меняется на вектор ).
Перейдём к формальным определениям.
Рекомендуемые материалы
16.3.2. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги).
16.3.2.1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , найдём и длину дуги , и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по кривой , а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции f(x,y,z) по кривой , и обозначается (или ).
Теорема существования. Если функция f(x,y,z) непрерывна на кусочно-гладкой кривой , то она интегрируема по этой кривой.
Случай замкнутой кривой. В этом случае в качестве начальной и конечной точки можно взять произвольную точку кривой. Замкнутую кривую в дальнейшем будем называть контуром и обозначать буквой С. То, что кривая, по которой вычисляется интеграл, замкнута, принято обозначать кружочком на знаке интеграла: .
16.3.2.2. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Для этого интеграла имеют место все шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем. Сформулировать и доказать их самостоятельно. Однако для этого интеграла справедливо и седьмое, персональное свойство:
Независимость криволинейного интеграла первого рода от направления прохождения кривой: .
Доказательство. Интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях этого равенства, при любом разбиении кривой и выборе точек совпадают (всегда длина дуги ), поэтому равны их пределы при .
16.3.2.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции, и пусть точкам , которые задают разбиение кривой, соответствуют значения параметра , т.е. . Тогда (см. раздел 13.3. Вычисление длин кривых) . По теореме о среднем, существует точка такая, что . Выберем точки , получающиеся при этом значении параметра: . Тогда интегральная сумма для криволинейного интеграла будет равна интегральной сумме для определенного интеграла . Так как , то, переходя к пределу при в равенстве , получим
.
Таким образом, вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определённого интеграла по параметру. Если кривая задана параметрически, то этот переход не вызывает трудностей; если дано качественное словесное описание кривой, то основной трудностью может быть введение параметра на кривой. Ещё раз подчеркнём, что интегрирование всегда ведётся в сторону возрастания параметра.
Примеры. 1. Вычислить , где - один виток спирали
Здесь переход к определённому интегралу проблем не вызывает: находим , и .
2. Вычислить тот же интеграл по отрезку прямой, соединяющей точки и .
Здесь прямого параметрического задания кривой нет, поэтому на АВ необходимо ввести параметр. Параметрические уравнения прямой имеют вид где - направляющий вектор, - точка прямой. В качестве точки берем точку , в качестве направляющего вектора - вектор : . Легко видеть, что точка соответствует значению , точка - значению , поэтому .
3. Найти, где - часть сечения цилиндра плоскостью z=x+1, лежащая в первом октанте.
Решение: Параметрические уравнения окружности - направляющей цилиндра имеют вид x=2cosj, y=2sinj, и так как z=x+1, то z= 2cosj+1. Итак,
поэтому
16.3.2.3.1. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай. Если кривая лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости Оху, и задаётся функцией , то, рассматривая х как параметр, получаем следующую формулу для вычисления интеграла: . Аналогично, если кривая задаётся уравнением , то .
Пример. Вычислить , где - четверть окружности , лежащая в четвёртом квадранте.
Решение. 1. Рассматривая х как параметр, получаем , поэтому
.
2. Если за параметр взять переменную у, то и .
3. Естественно, можно взять обычные параметрические уравнения окружности : .
Если кривая задана в полярных координатах , то , и .
16.3.2.4. Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода.
16.3.2.4.1. Масса m материальной кривой с плотностью m(x,y,z) вычисляется по формуле .
Пример. Найти массу четверти лемнискаты , если плотность выражается формулой m(x,y)=.
Решение: , поэтому
16.3.2.4.2. Статические моменты и координаты центра масс. Пусть плоская материальная кривая имеет плотность m(x,y). Статический момент относительно оси Ox определяется по формуле , относительно оси Oy: .
Аналогично, статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам
, ,
Координаты центра масс могут быть найдены по формулам
- для плоской кривой;
- для пространственной кривой, где m - масса кривой.
Пример. Найти центр масс четверти однородной окружности
Решение: Можно считать, что m=1. Тогда масса кривой равна ее длине . Статический момент равен
Из соображений симметрии , поэтому координаты центра масс равны
.
16.3.2.4.3. Моменты инерции. Моменты инерции плоской кривой с плотностью m относительно координатных осей вычисляются по формулам
,
моменты инерции относительно начала координат
В случае пространственной кривой моменты инерции относительно координатных осей и начала координат определяются по формулам
, , ,
Пример. Найти момент инерции относительно оси Oz однородной винтовой линии (m=1) x=acos t, y=asin t, z=at; 0 £ t £ 2p
Решение: .
16.3.3. Криволинейный интеграл второго рода (по координатам).
16.3.3.1. Определение криволинейного интеграла второго рода. Пусть в пространстве Oxyz дана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция . Разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , найдём и проекцию дуги на ось Ох, и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция Р(x,y,z) называется интегрируемой по кривой , а значение этого предела называется криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координате х от функции Р(x,y,z) по кривой , и обозначается (или ).
Теорема существования. Если функция Р(x,y,z) непрерывна на кривой , то она интегрируема по этой кривой.
Если на кривой , вместе с функцией Р(x,y,z), заданы функции Q(x,y,z) и R(x,y,z), то, аналогично интегралу , определяются интегралы и. В приложениях рассматривается сумма этих интегралов, которая обозначается и также называется криволинейным интегралом второго рода. Если кривая, по которой ведётся интегрирование, является контуром (т.е. замкнута), то, как и для криволинейного интеграла по длине дуги, в качестве начальной (и совпадающей с ней конечной) точки можно взять любую точку кривой.
16.3.3.2. Свойства криволинейного интеграла второго рода. Для этого интеграла существенны следующие свойства:
16.3.3.2.1. Линейность. Если функции интегрируемы по кривой (каждая по своей координате, то по этой кривой интегрируемы функции , и
16.3.3.2.2. Аддитивность. Если кривая разбита на две части и , не имеющие общих внутренних точек, то .
Доказательство этих свойств такое же, как и для других типов интегралов; воспроизвести их самостоятельно. Персональное свойство криволинейного интеграла по координатам:
16.3.3.2.3. Изменение знака криволинейного интеграла второго рода при изменении направления прохождения кривой: .
Доказательство очевидно: при изменении направления прохождения кривой меняет знак каждая проекция , следовательно, меняет знак интегральная сумма, следовательно, меняет знак предел последовательности интегральных сумм.
16.3.3.3. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции, и пусть точкам , которые задают разбиение кривой, соответствуют значения параметра , т.е. . Тогда по теореме Лагранжа существуют такие точки , что . Выберем точки , получающиеся при этих значениях параметра: . Тогда интегральная сумма для криволинейного интеграла будет равна интегральной сумме для определенного интеграла . Так как , то, переходя к пределу при в равенстве , получим
. Аналогично доказываются формулы для интегралов по другим координатам. Окончательно
Таким образом, вычисление криволинейного интеграла второго рода ни чем не отличается от вычисления интеграла первого и сводится к интегрированию по параметру. Направление интегрирования определяется условиями задачи.
Примеры. 1. Найти , где - виток винтовой линии x=a×cos t, y=a×sin t, z=a×t, 0 £ t £ 2p.
Решение:
Пусть плоская кривая задана в декартовой системе координат уравнением y=y(x), A(a,y(a)), B(b,y(b)). Тогда
.
Пример 2. Найти по кривой .
Решение: Пользуясь свойством аддитивности, разобьем интеграл на сумму двух:
Пример 3. Найти , где C - окружность, проходимая в отрицательном направлении (по часовой стрелке).
Решение: Параметризуем окружность x=2cos t, y=2sin t, 0 £ t £ 2p. Движению по часовой стрелке соответствует уменьшение параметра t, поэтому интегрируем от до 0:
Пример 4. Вычислить по каждому из путей, соединяющих точки О(0,0) и А(2,4), и изображённых на рисунке справа:
1. Ломаная ОВА, состоящая из прямолинейных отрезков;
2. Ломаная ОСА;
3. Прямолинейный отрезок ОА;
4-5. Параболы ODA и OEA, симметричные относительно координатных осей.
Решение. 1. (по свойству аддитивности). На ОВ в качестве параметра естественно выбрать переменную х, при этом , поэтому . На ВА , поэтому . Окончательно, .
2. .
. . Окончательно, .
3. На прямолинейном отрезке ОА , поэтому .
4. Уравнение параболы ОЕА имеет вид , значение коэффициента k найдём, подставляя в это уравнение координаты точки А: , поэтому .
5. Совершенно также убеждаемся, что интеграл по параболе ODA имеет то же значение.
Закономерен вопрос: для любого ли интеграла и любых начальной и конечной точек значение интеграла не зависит от формы пути, соединяющего эти точки? Убедимся в том, что это не так, на примере интеграла : ; .
Следующие разделы будут посвящены ответу на поставленный вопрос: при каких условиях криволинейный интеграл второго рода не зависит от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки, и определяется только этими точками? В трёхмерном случае этот вопрос будет изучаться в теории поля.
16.3.3.4. Формула Грина.
16.3.3.4.1. Связность, односвязность, многосвязность. Напомним определения ряда понятий из теории функций нескольких переменных, которыми нам придется пользоваться.
Множество точек (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.
Область (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области.
Примеры: односвязны шар, параллелепипед и вообще любой выпуклый объём в пространстве. Односвязен шаровой слой, заключённый между двумя сферами. Пример неодносвязной области: тор. Все пространство односвязно и остаётся односвязным, если из него удалить точку или отрезок. Если же удалить из пространства прямую, оно потеряет свойство односвязности: окружность, охватывающую эту прямую, не удастся стянуть в точку, не пересекая прямую.
Кусочно-гладкая граница ограниченной односвязной области всегда связна, следовательно, является контуром.
16.3.3.4.2. Теорема Грина для односвязной области. Пусть на плоскости Oxy задана односвязная область D, ограниченная кусочно-гладким контуром C. На множестве определены непрерывные функции и , имеющие непрерывные частные производные. Тогда , при этом контур С обходится так, что область D остаётся слева.
Док-во. 1. Пусть D - простая область. Докажем сначала, что . Опишем D неравенствами Тогда . Если контур включает вертикальные участки, такие как EF, то на этих участках dx= 0, поэтому , и , что и требовалось доказать.
Равенство доказывается точно также: . Суммируя равенства и , получим одну из важнейших формул анализа -формулу Грина
2. Пусть теперь D - произвольная, не обязательно простая, область. Разобьём её на простые части. Пусть это разбиение производится отрезком АВ, и пусть подобласти D1 и D2 - результат разбиения. Для этих подобластей формула Грина доказана:
и . По свойству аддитивности , . Суммируя эти выражения, убеждаемся, что криволинейные интегралы по отрезкам АВ и ВА взаимно уничтожаются, а сумма интегралов по кривым ВFA и AEB даёт интеграл по контуру С, т.е. формула Грина верна и для области, не являющейся простой. Доказательство остаётся справедливым и в случае, когда разбиение производится добавлением большего числа, чем одна, кривых.
16.3.3.4.3. Теорема Грина для многосвязной области. Пусть теперь D многосвязная на плоскости Oxy. Граница многосвязной области состоит из нескольких связных частей, не имеющих общих точек. Рассмотрим случай, когда граница области D (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура С и внутренних контуров С1 и С2. Соединим контур С разрезом FM с контуром С1, разрезом BG - с контуром С2. (Под словами "соединим разрезом BG " подразумевается то, что мы удалим из D отрезок BG). Область с границей односвязна, поэтому для неё справедлива формула Грина:
. Двойные интегралы по областям D и равны (площадь разрезов равна нулю); в криволинейный интеграл по кусочно-гладкой кривой интегралы по разрезам входят с противоположными знаками ( и , например) и поэтому взаимно уничтожаются, поэтому оказывается справедлива теорема Грина для многосвязной области: пусть на плоскости Oxy дана многосвязная область D с границей . На множестве определены непрерывные функции и , имеющие непрерывные частные производные. Тогда , при этом каждая часть полной границы обходится так, что область D остаётся слева.
16.3.3.5. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. В этом разделе будет дан ответ на вопрос: при каких условиях криволинейный интеграл второго рода не зависит от формы пути, соединяющего точки А и В, а определяется только этими точками? Будем предполагать, что в некоторой односвязной области на плоскости заданы непрерывно дифференцируемые функции и , и все рассматриваемые точки, контуры и области принадлежат этой области.
16.3.3.5.1. Теорема 1. Для того, чтобы интеграл не зависел от формы пути, соединяющего точки А и В, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю.
Доказательство. Необходимость. Пусть - произвольный замкнутый контур, лежащий в области , А и В - произвольные точки этого контура. Так как, по условию, , то .
Достаточность. Пусть для любого контура выполняется . Пусть , - произвольные точки, и - две различных кривых, соединяющих эти точки. - замкнутый контур, поэтому , что и требовалось доказать.
16.3.3.5.2. Теорема 2. Для того, чтобы интеграл по любому контуру С был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы функции и их частные производные были непрерывны, и выполнялось условие .
Доказательство. Необходимость. От противного. Пусть для выполняется , но существует точка такая, что . Предположим для определённости, что . Так как разность непрерывна, существует окрестность точки такая, что . Выберем контур С, целиком лежащий в этой окрестности. Если D - область ограниченная этим контуром, то, по формуле Грина, . Но, по теореме об интегрировании неравенств, ( - площадь области D), т.е. , что противоречит условиям теоремы. Следовательно, в любой точке выполняется условие .
Достаточность. Если в любой точке выполняется условие , то для любого контура С (D - область ограниченная контуром С).
Таким образом, для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки (или, что то же самое, интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю), требуется выполнение двух условий:
1. Контур и ограниченная им область лежат в некоторой односвязной области, в которой
2. и их частные производные непрерывны , и.
Отметим существенность первого условия. Так, для интеграла второе условие выполняется: , в то же время интеграл по окружности радиуса R не равен нулю: . Причина - функции Р и Q непрерывны всюду, кроме начала координат; удаление точки из плоскости лишает её свойства односвязности.
16.3.3.6. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае, когда выполняются условия независимости от формы пути.
Если выполнены условия независимости от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки кривой, то значение интеграла определяется только точками А и В. Поэтому в этом случае для обозначения интеграла применяется обозначение или . Докажем следующую теорему.
Теорема. Если в односвязной области G выполнено условие , то существует функция такая, что для любых точек и .
Функцию принято называть потенциальной функцией.
Доказательство. Фиксируем произвольную точку , и докажем, что в качестве искомой функции можно взять . Действительно, по свойству аддитивности , или , т.е. , что и требовалось доказать.
Разность обозначается символом или . Формула является аналогом формулы Ньютона-Лейбница для двухмерного случая; ещё раз отметим, что она имеет место в случае, когда выполняются условия независимости интеграла от формы пути.
Докажем, что для построенной функции выполняются следующие соотношения:
. Действительно, пусть
. Тогда ,
(на ) (по теореме о среднем) . Точка удовлетворяет условиям . Устремим , тогда , и .
Аналогично доказывается, что .
Условие теперь означает просто, что . Кроме того, из следует, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции (условие есть условие того, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка - уравнение в полных дифференциалах). Для отыскания потенциальной функции можно: 1. Решить уравнение в полных дифференциалах; 2. Построить напрямую по формуле . В качестве пути интегрирования обычно берётся путь М0АМ, состоящий из отрезков, параллельных координатным осям.
Вместе с этой лекцией читают "10. К биографии Кантемира".
Тогда на М0А ; на АМ .
Продемонстрируем оба метода на примере 4 раздела 16.3.3.3: . Здесь , т.е. условия независимости выполняются. В качестве точки берём начало координат .
1. Решаем систему уравнений Из первого уравнения , подставляем эту функцию во второе уравнение (потенциал всегда определяется с точностью до произвольной постоянной, физический смысл имеет разность потенциалов в двух точках, которая не зависит от этой постоянной).
2. .
Теперь, когда потенциальная функция определена, легко находится любой интеграл: .
16.3.3.7. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл. Из формулы Грина следует неожиданный результат: если функции Р и Q удовлетворяют условию , то ( - площадь области D). Таким образом, площадь области можно выразить через криволинейный интеграл второго рода по границе этой области. В качестве функций Р и Q можно взять любые непрерывно дифференцируемые функции, такие что , например, ; ; ; и т.д. В результате и т.д. При этом контур С (граница области D) обходится в положительном направлении. Чаще всего применяется третья из этих формул. Для примера найдём площадь, ограниченную эллипсом . Параметрические уравнения эллипса , поэтому ; это, видимо, самый простой способ вычисления площади эллиптической области.