Поверхностные интегралы

16.4. Поверхностные интегралы.

16.4.1. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация поверхности. Поверхность может быть односторонней и двусторонней. Простой пример модели односторонней поверхности - лист Мёбиуса, который получается, если взять узкую длинную полоску бумаги и склеить её узкие торцы, перекрутив полоску один раз. В том, что у полученной поверхности одна сторона, можно убедиться, если начать закрашивать её в какой-нибудь цвет, не отрывая кисть от бумаги и не пересекая границ. В результате будет окрашен весь лист Мёбиуса. Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности.

Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно меняющаяся вдоль поверхности. Поверхность называется кусочно-гладкой, если она состоит из нескольких гладких частей, примыкающим друг к другу по гладким или кусочно- гладким кривым. Так, плоскость - гладкая поверхность; поверхность куба - кусочно-гладка.

Дадим формальное определение односторонней и двусторонней поверхностей. Пусть дана гладкая поверхность , и на ней произвольно выбрана точка М. Из двух возможных направлений нормали в этой точке выберем одно и зафиксируем его. Характеризовать это направление будем единичным вектором нормали . Возьмём замкнутый контур С, проходящий через точку М, целиком лежащий в  и не пересекающий её границы, и будем двигаться по контуру, восстанавливая в каждой точке нормаль так, чтобы она непрерывно получалось из . Если для любого такого контура и любой точки М  мы вернёмся в М с исходным направлением нормали, то поверхность  называется двусторонней. Если хотя бы для одного контура мы вернёмся в исходную точку с противоположным направлением нормали, то поверхность называется односторонней.

Задать ориентацию поверхности (выбрать определённую сторону поверхности) означает выбрать в каждой точке  один из двух возможных векторов нормали  так, чтобы он непрерывно менялся от точки к точке. Для этого достаточно определить нормаль  в какой-либо одной точке ; во всех остальных точках М направления нормали  должны браться так, чтобы они получались непрерывным переносом из  вдоль какого-нибудь пути . Согласно определению двусторонней поверхности, мы гарантированно придём в точку  с одним и тем же направлением нормали при любом пути .

16.4.2. Поток жидкости через поверхность. Как и при изучении криволинейных интегралов, начнём с физической задачи. Пусть через объём V течёт поток жидкости, имеющий скорость в точке М. Пусть в V размещена проницаемая (возможно, воображаемая) поверхность . Требуется найти количество  жидкости, протекающей через  за единицу времени. В дальнейшем мы будем называть это количество потоком через поверхность.

            В случае, когда  - ограниченная плоская область и , решение очевидно. Это количество равно объёму, ограниченному цилиндрической поверхностью с основанием  и боковой стороной . Площадь основания объёма равна   (этим символом мы обозначаем и поверхность, и её площадь), высота , т.е. равна скалярному произведению вектора скорости на единичный вектор нормали. Итак, . Заметим, что изобразив на рисунке единичный вектор нормали, мы ввели на поверхности ориентацию. Так, применительно к рисунку справа, мы выбрали верхнюю сторону поверхности; если бы выбрали противоположную нормаль, поток изменил бы знак.

Рекомендуемые материалы

Возможны два способа представления этой величины.

1. Обозначив , получим .

2. Если в некоторой координатной системе  имеет координаты P, Q, R, единичный вектор  имеет координаты - направляющие косинусы , то . Чему равно произведение ?

Произведение  равно площади  проекции  поверхности  на плоскость Oxy (площади всегда положительны). Следовательно,  равно , если   (или, что то же самое, угол  - острый; проекция  на орт  оси Oz положительна). Этот случай соответствует верхнему рисунка справа. Соответственно,  равно , если   (или, что то же самое, угол  - тупой; проекция  на орт  оси Oz отрицательна). Этот случай соответствует нижнему рисунку. Итак, можно записать . Аналогично изложенному, , где следует взять знак "+", если угол  - острый, и "-", если этот угол тупой, и , где берётся знак "+", если угол  - острый, и "-", если этот угол тупой;  - проекция  на плоскость Oyz,  -  - проекция  на плоскость Oxz. Окончательно, .

Пусть теперь  - произвольная гладкая ограниченная поверхность, и скорость  может меняться от точки к точке. Чтобы свести этот случай к предыдущему, разобьём  сетью кривых на  частей , на каждой из частей  выберем произвольную точку , и, считая, что  - плоская область, скорость  по  постоянна и равна  и что ориентация всей части  характеризуется единичным нормальным вектором , получим, что через  в единицу времени протекает   жидкости (). Как мы видели, это выражение можно представить и в виде   (где    - угол между  и ), и в виде . Суммируя эти выражения по всем  дугам, получим выражения двух интегральных сумм:  и . Переход к пределу в этих интегральных суммах при  приведёт к двум поверхностным интегралам:  и . Первый из этих интегралов называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности. Во втором интеграле элементы площади в координатных плоскостям принято записывать так, как мы это делали в двойном интеграле:  и опускать знаки перед слагаемыми: ; этот интеграл называется поверхностным интегралом второго рода, или поверхностным интегралом по координатам. Как  и криволинейные интегралы двух родов, это разные объекты. Они имеют разные определения и разные свойства. В частности, поверхностный интеграл первого рода не зависит от  ориентации поверхности, так как угол  входит в подынтегральную функцию в явном виде, в то время как поверхностный интеграл второго рода меняет  знак при изменении  стороны поверхности (вектор  меняется на ).

            Перейдём к формальным определениям.

            16.4.3. Поверхностный интеграл первого рода (по площади поверхности).

            16.4.3.1. Определение поверхностного интеграла первого рода. Пусть в пространстве  переменных x,y,z задана кусочно-гладкая поверхность , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём поверхность на  частей , на каждой из частей  выберем произвольную точку , найдём  и площадь части  (которую будем обозначать тем же символом ), и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности  на части , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом первого рода, или поверхностным интегралом по площади поверхности, и обозначается .

            Теорема существования. Если функция f(x,y,z) непрерывна на поверхности , то она интегрируема по этой поверхности.

16.4.3.2. Свойства поверхностного интеграла первого рода. Для этого интеграла имеют место основные шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем. Сформулировать и доказать их самостоятельно. Седьмое, персональное, свойство - независимость поверхностного интеграла первого рода от выбора стороны поверхности.

            16.4.3.3. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

16.4.3.3.1. Определение единичного вектора нормали к поверхности. Выражения для элемента площади поверхности. Предположим, что поверхность  задаётся неявным уравнением  ( - непрерывно дифференцируемая функция) и взаимно однозначно проецируется в область  на плоскости Оху. Из теории функций нескольких переменных известно, что градиент функции ортогонален поверхности уровня этой функции, проходящей через точку, в которой найден градиент. Рассматривая уравнение  как уравнение поверхности уровня функции трёх переменных , получаем, что в каждой точке поверхности   ортогонален , т.е. является нормальным к  вектором. Чтобы получить единичный нормальный вектор, достаточно просто пронормировать : , где знак перед дробью соответствует возможности выбора двух возможных взаимно противоположных направлений нормали. В координатной форме , где  - базисные орты. Если сравнить это выражение с представлением градиента через направляющие косинусы: , то , , . Теперь мы можем выразить элемент площади поверхности через элемент площади в каждой координатной плоскости: , , . В частном случае задания уравнения поверхности в явном виде  получим , т.е. , , , , поэтому , , , и . Мы уже пользовались этой формулой при вычислении площади поверхности с помощью двойного интеграла.

            16.4.3.3.2. Выражение поверхностного интеграла через двойной интеграл по проекции поверхности на координатную плоскость. Пусть поверхность  взаимно однозначно проецируется в область  на плоскости Оху. Будем считать, что поверхность задана уравнением , . В интегральной сумме  выразим площадь  через двойной интеграл по её проекции  на плоскость Оху: . Применим к этому интегралу теорему о среднем: существует точка  такая, что . Значение подынтегральной функции  будем вычислять в точке , такой, что . Тогда .

Слева стоит интегральная сумма для поверхностного интеграла, справа - для двойного; переход к пределу при  (при этом и ) даёт

.

Эта формула и применяется для вычисления поверхностных интегралов. Естественно, в каждой задаче надо выбирать, на какую из координатных плоскостей предпочтительней проецировать поверхность; если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

            Примеры. 1. Найти , где s - часть цилиндра x² + z² = 2x, вырезаемая гиперболоидом  x² - y² + z² = 1  и плоскостью z = 0 (z > 0).

            Решение: Найдем проекцию поверхности s на плоскость OXY.  Исключим из уравнений цилиндра и гиперболоида переменную z:

 2x = y²+1 - уравнение проекции линии пересечения двух поверхностей на OXY.

Полагая в уравнении цилиндра z = 0, получим уравнение линии пересечения цилиндра и плоскости OXY. Таким образом, поверхность s проецируется в область D, ограниченную параболой x =(y²+1) и прямой x=2. Часть цилиндра, удовлетворяющая условию z>0, задается уравнением z = . Тогда     = =. Таким образом,   .

           

2. Найти , где s - полная поверхность цилиндра x²+y² = 1, 0 ≤ z ≤ 1.

            Решение: Искомый интеграл равен сумме трех интегралов: по нижнему и верхнему основаниям s₁ и s₂ и боковой поверхности (рис.18). Так как на нижнем основании z=0, то =0. Для верхнего основания s₂ имеем z(x,y)=1, ==0, поэтому поверхностный интеграл по s₂ совпадает с двойным интегралом от функции z(x,y)|xy| = |xy|, взятым по кругу D ={x²+ y²<1}:

 

Найдем интеграл по боковой поверхности. Она состоит из двух частей: s₃ и s₄ , симметричных относительно плоскости OYZ. Так как функция z|xy| - четная по x, то интегралы по s₃  и s₄  равны.

Проекция s₃ на плоскость OYZ - прямоугольник D:{-1 ≤ у ≤ 1, 0 ≤ z ≤1}. Уравнение s₃ : х=  Отсюда:  

Окончательно получаем:

            3. Найти , где s - сфера x² + y² + z² = R².

            Решение: Использование соображений симметрии позволяет иногда существенно упростить вычисление интегралов. Очевидно, что для сферы . Тогда

            6.4.3.4. Механические и физические приложения поверхностного интеграла 1-го рода.

 6.4.3.4.1. Масса поверхности. Пусть на поверхности s распределена масса с поверхностной плотностью m(x,y,z). Тогда масса m поверхности равна

m = .

6.4.3.4.2. Статические моменты и центр масс.   Статические моменты поверхности относительно координатных плоскостей OYZ, OXZ, OXY равны соответственно   

Координаты центра масс поверхности s равны x_c = ,  y_c = ,  z_c = .

6.4.3.4. 3. Моменты инерции. Момент инерции поверхности s относительно прямой L равен I_L=, где =r_L(x,y,z) - расстояние от точки (x,y,z), лежащей на поверхности s, до прямой L. В частности, моменты инерции относительно координатных осей OX, OY, OZ равны

, , .

Момент инерции относительно точки P(x₀,y₀,z₀) равен

Момент инерции относительно начала координат равен

       Пример. Найти координаты центра масс полусферы x² + y² + z² = R², z £ 0, если поверхностная плотность в каждой точке сферы равна расстоянию от этой точки до оси OZ.

            Решение: Масса полусферы s равна

(Мы воспользовались тем, что интеграл  равен четверти площади круга радиуса R  т.е. ).

16.4.4. Поверхностный интеграл второго рода (по координатам).

          

16.4.4.1. Определение поверхностного интеграла второго рода. Пусть в пространстве  переменных x,y,z задана ограниченная кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, на которой введена ориентация (т.е. с помощью единичного вектора нормали в какой-либо точке  задана сторона поверхности), и на которой определена функция R(x,y,z). Разобьём поверхность на  частей , на каждой из частей  выберем произвольную точку , найдём , нормаль  в точке  к выбранной стороне поверхности, и площадь  проекции части  на плоскость ОХУ. В интегральную сумму слагаемое  возьмём со знаком "+", если  (т.е. если угол  между  и осью Oz - острый; проекция  на орт  оси Oz положительна), и со знаком "-", если . В результате интегральная сумма будет иметь вид . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения поверхности  на части , ни от выбора точек , то функция R(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности , а значение этого предела называется поверхностным интегралом второго рода, или поверхностным интегралом по координатам х,у, и обозначается .

            Теорема существования. Если функция R(x,y,z) непрерывна на поверхности , то она интегрируема по этой поверхности.

Если на поверхности , вместе с функцией R(x,y,z), определены функции P(x,y,z) и Q(x,y,z), то, так же, как и интеграл , определяются интегралы  и ; в приложениях, как мы видели из рассмотренной в начале раздела физической задачи, обычно рассматривается сумма этих интегралов, которая обозначается .

16.4.4.2. Свойства поверхностного интеграла второго рода. Для этого интеграла, как и для криволинейного интеграла второго рода, имеет смысл формулировать следующие свойства: линейность, аддитивность и зависимость поверхностного интеграла от выбора стороны поверхности: при изменении ориентации поверхности интеграл меняет знак.

            16.4.4.3. Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Пусть поверхность  взаимно однозначно проецируется в область  на плоскости Оху. В этом случае  имеет одинаковый знак во всех точках поверхности. Именно, , если рассматривается верхняя сторона поверхности, и , если рассматривается нижняя сторона. Поэтому для верхней стороны все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "+", и сумма будет иметь вид . Если поверхность задана уравнением , , то эта сумма равна . В последней сумме легко увидеть интегральную сумму для двойного интеграла . Переход к пределу при  (при этом и ) даст

. Напомню, что эта формула получена для верхней стороны поверхности. Если выбрана нижняя сторона, то все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "-", и интегральная сумма будет иметь вид . Рассуждая, как и для верхней стороны, получим, что в этом случае . Окончательно, , где знак "+" берётся для верхней стороны поверхности, знак "-" - для нижней стороны.

Аналогично изложенному, для других интегралов: , если поверхность однозначно проецируется в область  на плоскости Oyz, при этом знак "+" берётся для "передней" стороны поверхности (где ), для "задней" стороны, где , берётся знак "-"; , если поверхность однозначно проецируется в область   на плоскость Oхz, знак "+" берётся для "правой" стороны поверхности (где ), для "левой" стороны, где , берётся знак "-". Как и для поверхностного интеграла первого рода, если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

            Примеры. 1. Вычислить ,  s - часть поверхности цилиндра y = , заключенная между плоскостями x=0, x=8, z=0, z=3. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Oх.

            Решение: Определяем знаки направляющих косинусов нормали cosa>0, cosb<0, cosg=0. Поэтому

 , где

D_yz={(y,z): 0£ y £16, 0 £ z £ 3}, D_xz={(x,z): 0 £ x £ 8, 0 £ z £ 3} - проекции s на плоскости Oyz и Oxz соответственно. Проекция поверхности s на плоскость Oxy вырождается в линию - параболу y=, cosg=0, поэтому интеграл по D_xy в данном случае отсутствует. Вычислим отдельно интегралы по D_yz и D_{xz ,} выражая x(y,z) и y(x,z) из уравнения поверхности s: x(y,z)=2, y(x,z)=.

==dy=328,==dx=928. Окончательно I = 328 - 928 = - 600.

            2. Вычислить ,  где s - часть плоскости , ограниченная координатными плоскостями x=0, у=0, z=0. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Oz.

            Решение. Из двух направлений нормали к s мы должны выбрать такое, для которого коэффициент при орте  (т.е. ) положителен, поэтому выбираем знак "-", тогда . В соответствии со знаками направляющих косинусов,   . Вычисляем эти интегралы. 

1. .

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 5.1. Язык карты. Картографические знаки.

2. .

3.  . Окончательно,

            В заключение напомню, что вычисление поверхностного интеграла второго рода всегда можно свести к вычислению поверхностного интеграла первого рода. Так, в последнем примере подынтегральное выражение равно , где , . Поэтому , и, проектируя s на плоскость Оху , получим 

.