Криволинейные интегралы

16.3. Криволинейные интегралы.

16.3.1. Введение. Рассмотрим следующую физическую задачу. Пусть в пространстве Oxyz вдоль кривой  перемещается материальная точка под воздействием силы ; при этом сила может меняться от точки к точке. Требуется найти работу, которая совершается силой.

            В случае, когда в качестве берётся  - прямолинейный отрезок (левая часть рисунка), и - постоянная сила, работа есть скалярное произведение силы на вектор перемещения точки: . Это выражение можно трактовать двумя способами.

1. По определению скалярного произведения . Здесь,  - угол между . Обозначим , тогда .

2. Если расписать скалярное произведение в координатной форме, то .

Пусть теперь  - произвольная гладкая ограниченная кривая, и сила может меняться от точки к точке (правая часть рисунка). Чтобы свести этот случай к предыдущему, разобьём кривую  точками  на  частей, на каждой из дуг  выберем произвольную точку , и, считая, что дуга  - прямолинейный отрезок - вектор  длины , и сила вдоль этого отрезка постоянна и равна , получим, что работа вдоль этой дуги близка к  (). Как мы видели, это выражение можно представить и в виде  

(где    - угол между  и ), и в виде . Суммируя эти выражения по всем  дугам, получим выражения двух интегральных сумм:  и . Переход к пределу в этих интегральных суммах при  приведёт к двум криволинейным интегралам:  и . Первый из этих интегралов называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги; второй - криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координатам. Несмотря на то, что они описывают одну и ту же физическую величину, с математической точки зрения это разные объекты. Они имеют разные определения и разные свойства. В частности, криволинейный интеграл первого рода не зависит от  направления прохождения кривой:  (так как угол  между силой и кривой входит в подынтегральную функцию в явном виде), в то время как криволинейный интеграл второго рода меняет  знак при изменении  направления прохождения кривой:  (вектор , координаты которого входят в интегральную сумму, меняется на вектор ).

            Перейдём к формальным определениям.

Рекомендуемые материалы

            16.3.2. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги).

            16.3.2.1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть в пространстве  переменных x,y,z задана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция f(x,y,z). Разобьём кривую точками  на  частей, на каждой из дуг  выберем произвольную точку , найдём  и длину  дуги , и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция f(x,y,z) называется интегрируемой по кривой , а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции f(x,y,z) по кривой , и обозначается  (или ).

Теорема существования. Если функция f(x,y,z) непрерывна на кусочно-гладкой кривой , то она интегрируема по этой кривой.

            Случай замкнутой кривой. В этом случае в качестве начальной и конечной точки можно взять произвольную точку кривой. Замкнутую кривую в дальнейшем будем называть контуром и обозначать буквой С. То, что кривая, по которой вычисляется интеграл, замкнута, принято обозначать кружочком на знаке интеграла: .

16.3.2.2. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Для этого интеграла имеют место все шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем. Сформулировать и доказать их самостоятельно. Однако для этого интеграла справедливо и седьмое, персональное свойство:

            Независимость криволинейного интеграла первого рода от направления прохождения кривой: .

            Доказательство. Интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях этого равенства, при любом разбиении кривой и выборе точек  совпадают (всегда длина  дуги  ), поэтому равны их пределы при .

            16.3.2.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры. Пусть кривая  задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции, и пусть точкам , которые    задают разбиение кривой, соответствуют значения параметра  , т.е. . Тогда (см. раздел 13.3. Вычисление длин кривых) . По теореме о среднем, существует точка  такая, что . Выберем точки , получающиеся при этом значении параметра: . Тогда интегральная сумма для криволинейного интеграла  будет равна интегральной сумме для определенного интеграла . Так как , то, переходя к пределу при  в равенстве , получим

.

            Таким образом, вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определённого интеграла по параметру. Если кривая задана параметрически, то этот переход не вызывает трудностей; если дано качественное словесное описание кривой, то основной трудностью может быть введение параметра на кривой. Ещё раз подчеркнём, что интегрирование всегда ведётся в сторону возрастания параметра.

            Примеры. 1. Вычислить , где  - один виток спирали

Здесь переход к определённому интегралу проблем не вызывает: находим  , и .

            2. Вычислить тот же интеграл по отрезку прямой, соединяющей точки  и .

Здесь прямого параметрического задания кривой нет, поэтому на АВ необходимо ввести параметр. Параметрические уравнения прямой имеют вид  где   - направляющий вектор,  - точка прямой. В качестве точки берем точку , в качестве направляющего вектора - вектор : . Легко видеть, что точка  соответствует значению , точка   - значению , поэтому .

  

3. Найти, где  - часть сечения цилиндра  плоскостью z=x+1, лежащая в первом октанте.

Решение: Параметрические уравнения окружности - направляющей цилиндра имеют вид  x=2cosj, y=2sinj, и так как z=x+1, то   z= 2cosj+1. Итак,

 поэтому

16.3.2.3.1. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай. Если кривая лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости Оху, и задаётся функцией , то, рассматривая х как параметр, получаем следующую формулу для вычисления интеграла: . Аналогично, если кривая задаётся уравнением , то .

Пример. Вычислить , где  - четверть окружности , лежащая в четвёртом квадранте.

Решение. 1. Рассматривая х как параметр, получаем  , поэтому

.

2. Если за параметр взять переменную у, то   и .

3. Естественно, можно взять обычные параметрические уравнения окружности  : .

Если кривая задана в полярных координатах , то , и .

16.3.2.4. Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода.

16.3.2.4.1. Масса m материальной кривой  с плотностью m(x,y,z) вычисляется по формуле  .

Пример. Найти массу четверти лемнискаты , если плотность выражается формулой m(x,y)=.

Решение:  , поэтому

16.3.2.4.2. Статические моменты и координаты центра масс. Пусть плоская материальная кривая  имеет плотность m(x,y). Статический момент относительно оси Ox определяется по формуле , относительно оси Oy: .

Аналогично, статические моменты пространственной кривой относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам

,      ,      

Координаты центра масс могут быть найдены по формулам

  - для плоской кривой;

 - для пространственной кривой, где m - масса кривой.

Пример. Найти центр масс четверти однородной окружности

Решение: Можно считать, что m=1. Тогда масса кривой равна ее длине . Статический момент  равен

Из соображений симметрии , поэтому координаты центра масс равны

.

16.3.2.4.3. Моменты инерции. Моменты инерции плоской кривой с плотностью m относительно координатных осей вычисляются по формулам

 ,    

моменты инерции относительно начала координат

В случае пространственной кривой моменты инерции относительно координатных осей и начала координат определяются по формулам

,    ,    ,

Пример. Найти момент инерции относительно оси Oz однородной винтовой линии (m=1)  x=acos t, y=asin t, z=at; 0 £ t £ 2p

Решение: .

16.3.3. Криволинейный интеграл второго рода (по координатам).

       

16.3.3.1. Определение криволинейного интеграла второго рода. Пусть в пространстве  Oxyz дана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция . Разобьём кривую точками   на  частей, на каждой из дуг  выберем произвольную точку , найдём  и проекцию  дуги  на ось Ох, и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция Р(x,y,z) называется интегрируемой по кривой , а значение этого предела называется криволинейным интегралом второго рода, или криволинейным интегралом по координате х от функции Р(x,y,z) по кривой , и обозначается  (или ).

            Теорема существования. Если функция Р(x,y,z) непрерывна на кривой , то она интегрируема по этой кривой.

            Если на кривой , вместе с функцией Р(x,y,z), заданы функции Q(x,y,z) и R(x,y,z), то, аналогично интегралу , определяются интегралы  и. В приложениях рассматривается сумма этих интегралов, которая обозначается  и также называется криволинейным интегралом второго рода. Если кривая, по которой ведётся интегрирование, является контуром (т.е. замкнута), то, как и для криволинейного интеграла по длине дуги, в качестве начальной (и совпадающей с ней конечной) точки можно взять любую точку кривой.

16.3.3.2. Свойства криволинейного интеграла второго рода. Для этого интеграла существенны следующие свойства:

16.3.3.2.1. Линейность. Если функции  интегрируемы по кривой (каждая по своей координате, то по этой кривой интегрируемы функции , и

16.3.3.2.2. Аддитивность. Если кривая  разбита на две части  и , не имеющие общих внутренних точек, то . 

Доказательство этих свойств такое же, как и для других типов интегралов; воспроизвести их самостоятельно. Персональное свойство криволинейного интеграла по координатам:

            16.3.3.2.3. Изменение знака криволинейного интеграла второго рода при изменении направления прохождения кривой: .

Доказательство очевидно: при изменении направления прохождения кривой меняет знак каждая проекция , следовательно, меняет знак интегральная сумма, следовательно, меняет знак предел последовательности интегральных сумм.

            16.3.3.3. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры. Пусть кривая  задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции, и пусть точкам , которые    задают разбиение кривой, соответствуют значения параметра  , т.е. . Тогда по теореме Лагранжа существуют такие точки , что  . Выберем точки , получающиеся при этих значениях параметра: . Тогда интегральная сумма для криволинейного интеграла  будет равна интегральной сумме для определенного интеграла . Так как , то, переходя к пределу при  в равенстве , получим

. Аналогично доказываются формулы для интегралов по другим координатам. Окончательно

            Таким образом, вычисление криволинейного интеграла второго рода ни чем не отличается от вычисления интеграла первого и сводится к интегрированию по параметру. Направление интегрирования определяется условиями задачи.

Примеры. 1. Найти  , где - виток винтовой линии  x=a×cos t, y=a×sin t, z=a×t, 0 £ t £ 2p.

Решение:

Пусть плоская кривая задана в декартовой системе координат уравнением y=y(x), A(a,y(a)), B(b,y(b)). Тогда

.

Пример 2. Найти  по кривой .

Решение: Пользуясь свойством аддитивности, разобьем интеграл на сумму двух:

Пример 3. Найти , где C - окружность, проходимая в отрицательном направлении (по часовой стрелке).

Решение: Параметризуем окружность x=2cos t, y=2sin t, 0 £ t £ 2p. Движению по часовой стрелке соответствует уменьшение параметра t, поэтому интегрируем от  до 0:

          Пример 4. Вычислить  по каждому из путей, соединяющих точки О(0,0) и А(2,4), и изображённых на рисунке справа:

1. Ломаная ОВА, состоящая из прямолинейных отрезков;

2. Ломаная ОСА;

3. Прямолинейный отрезок ОА;

4-5. Параболы ODA и OEA, симметричные относительно координатных осей.

            Решение. 1.   (по свойству аддитивности). На ОВ в качестве параметра естественно выбрать переменную х, при этом , поэтому . На ВА , поэтому . Окончательно, .

2. .

. . Окончательно, .

3. На прямолинейном отрезке ОА , поэтому .

4. Уравнение параболы ОЕА имеет вид , значение коэффициента k найдём, подставляя в это уравнение координаты точки А: , поэтому .

5. Совершенно также убеждаемся, что интеграл по параболе ODA имеет то же значение.

            Закономерен вопрос: для любого ли интеграла и любых начальной и конечной точек значение интеграла не зависит от формы пути, соединяющего эти точки? Убедимся в том, что это не так, на примере интеграла : ; .

            Следующие разделы будут посвящены ответу на поставленный вопрос: при каких условиях криволинейный интеграл второго рода  не зависит от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки, и определяется только этими точками? В трёхмерном случае этот вопрос будет изучаться в теории поля.

            16.3.3.4. Формула Грина.

            16.3.3.4.1. Связность, односвязность, многосвязность. Напомним определения ряда понятий из теории функций нескольких переменных, которыми нам придется пользоваться.

            Множество точек (на прямой, на плоскости, в пространстве) называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

            Область (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывной деформацией стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области.

            Примеры: односвязны шар, параллелепипед и вообще любой выпуклый объём в пространстве. Односвязен шаровой слой, заключённый между двумя сферами. Пример неодносвязной области: тор. Все пространство односвязно и остаётся односвязным, если из него удалить точку или отрезок. Если же удалить из пространства прямую, оно потеряет свойство односвязности: окружность, охватывающую эту прямую, не удастся стянуть в точку, не пересекая прямую.

            Кусочно-гладкая граница ограниченной односвязной области всегда связна, следовательно, является контуром.

            16.3.3.4.2. Теорема Грина для односвязной области. Пусть на плоскости Oxy задана односвязная область D, ограниченная кусочно-гладким контуром C. На множестве  определены непрерывные функции  и , имеющие непрерывные частные производные. Тогда , при этом контур С обходится так, что область D остаётся слева.

           

Док-во. 1. Пусть D - простая область. Докажем сначала, что . Опишем D неравенствами  Тогда   . Если контур включает вертикальные участки, такие как EF, то на этих участках dx= 0, поэтому , и , что и требовалось доказать.

Равенство  доказывается точно также:   . Суммируя равенства  и , получим одну из важнейших формул анализа -формулу Грина

  

2. Пусть теперь D - произвольная, не обязательно простая, область. Разобьём её на простые части. Пусть это разбиение производится отрезком АВ, и пусть подобласти D₁ и D₂ - результат разбиения. Для этих подобластей формула Грина доказана:

 и .  По свойству аддитивности ,   . Суммируя эти выражения, убеждаемся, что криволинейные интегралы по отрезкам АВ и ВА взаимно уничтожаются, а сумма интегралов по кривым ВFA и AEB даёт интеграл по контуру С, т.е. формула Грина верна и для области, не являющейся простой. Доказательство остаётся справедливым и в случае, когда разбиение производится добавлением большего числа, чем одна, кривых.

  

16.3.3.4.3. Теорема Грина для многосвязной области. Пусть теперь D многосвязная  на плоскости Oxy. Граница многосвязной области состоит из нескольких связных частей, не имеющих общих точек. Рассмотрим случай, когда граница области D (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура С и внутренних контуров С₁ и С₂. Соединим контур С разрезом FM с контуром С₁, разрезом BG - с контуром С₂. (Под словами "соединим разрезом BG " подразумевается то, что мы удалим из D отрезок BG). Область  с границей  односвязна, поэтому для неё справедлива формула Грина:

. Двойные интегралы по областям D и  равны (площадь разрезов равна нулю); в криволинейный интеграл по кусочно-гладкой кривой  интегралы по разрезам входят с противоположными знаками ( и , например) и поэтому взаимно уничтожаются, поэтому оказывается справедлива теорема Грина для многосвязной области: пусть на плоскости Oxy дана многосвязная область D   с границей . На множестве  определены непрерывные функции  и , имеющие непрерывные частные производные. Тогда , при этом каждая часть полной границы  обходится так, что область D остаётся слева.

            16.3.3.5. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. В этом разделе будет дан ответ на вопрос: при каких условиях криволинейный интеграл второго рода  не зависит от формы пути, соединяющего точки А и В, а определяется только этими точками? Будем предполагать, что в некоторой односвязной области  на плоскости заданы непрерывно дифференцируемые функции  и , и все рассматриваемые точки, контуры и области принадлежат этой области.

            

16.3.3.5.1. Теорема 1. Для того, чтобы интеграл  не зависел от формы пути, соединяющего точки А и В, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть  - произвольный замкнутый контур, лежащий в области , А и В - произвольные точки этого контура. Так как, по условию, , то  .

Достаточность. Пусть для любого контура  выполняется . Пусть ,  - произвольные точки,  и  - две различных кривых, соединяющих эти точки.  - замкнутый контур, поэтому    , что и требовалось доказать.

16.3.3.5.2. Теорема 2. Для того, чтобы интеграл  по любому контуру С был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы функции  и их частные производные были непрерывны, и  выполнялось условие .

Доказательство. Необходимость. От противного. Пусть для  выполняется , но существует точка  такая, что . Предположим для определённости, что . Так как разность  непрерывна, существует окрестность точки  такая, что . Выберем контур С, целиком лежащий в этой окрестности. Если D - область ограниченная этим контуром, то, по формуле Грина, .  Но, по теореме об интегрировании неравенств,  ( - площадь области D), т.е. , что противоречит условиям теоремы. Следовательно, в любой точке  выполняется условие .

Достаточность. Если в любой точке  выполняется условие , то для любого контура С  (D - область ограниченная контуром С).

Таким образом, для того, чтобы криволинейный интеграл  не зависел от формы пути, соединяющего начальную и конечную точки (или, что то же самое, интеграл по любому замкнутому контуру был равен нулю), требуется выполнение двух условий:

1. Контур и ограниченная им область лежат в некоторой односвязной области, в которой

2.  и их частные производные непрерывны , и.

Отметим существенность первого условия. Так, для интеграла  второе условие выполняется: , в то же время интеграл по окружности радиуса R не равен нулю: . Причина - функции Р и Q непрерывны всюду, кроме начала координат; удаление точки из плоскости лишает её свойства односвязности.

16.3.3.6. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае, когда выполняются условия независимости от формы пути.

Если выполнены условия независимости от формы пути, соединяющего начальную  и конечную  точки кривой, то значение интеграла  определяется только точками А и В. Поэтому в этом случае для обозначения интеграла применяется обозначение  или . Докажем следующую теорему.

Теорема. Если в односвязной области G выполнено условие , то существует функция  такая, что для любых точек  и  .

Функцию  принято называть потенциальной функцией.

Доказательство. Фиксируем произвольную точку , и докажем, что в качестве искомой функции  можно взять . Действительно, по свойству аддитивности   , или , т.е. , что и требовалось доказать.

Разность  обозначается символом  или . Формула  является аналогом формулы Ньютона-Лейбница для двухмерного случая; ещё раз отметим, что она имеет место в случае, когда выполняются условия независимости интеграла от формы пути.

Докажем, что для построенной функции  выполняются  следующие соотношения:

. Действительно, пусть  

. Тогда ,

  (на )   (по теореме о среднем) . Точка  удовлетворяет условиям . Устремим , тогда , и .

Аналогично доказывается, что .

 

Условие  теперь означает просто, что . Кроме того, из    следует, что подынтегральное выражение    является полным дифференциалом функции  (условие  есть условие того, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка  - уравнение в полных дифференциалах). Для отыскания потенциальной функции  можно: 1. Решить уравнение в полных дифференциалах; 2. Построить  напрямую по формуле . В качестве пути интегрирования обычно берётся путь М₀АМ, состоящий из отрезков, параллельных координатным осям.

Вместе с этой лекцией читают "10. К биографии Кантемира".

Тогда на М₀А   ; на АМ .

Продемонстрируем оба метода на примере 4 раздела 16.3.3.3: . Здесь  , т.е. условия независимости выполняются. В качестве точки  берём начало координат .

1. Решаем систему уравнений   Из первого уравнения , подставляем эту функцию во второе уравнение  (потенциал всегда определяется с точностью до произвольной постоянной, физический смысл имеет разность потенциалов в двух точках, которая не зависит от этой постоянной).

2. .

Теперь, когда потенциальная функция определена, легко находится любой интеграл: .

16.3.3.7. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл. Из формулы Грина  следует неожиданный результат: если функции Р и Q удовлетворяют условию , то   ( - площадь области D). Таким образом, площадь области можно выразить через криволинейный интеграл второго рода по границе этой области. В качестве функций Р и Q можно взять любые непрерывно дифференцируемые функции, такие что , например, ; ; ;  и т.д. В результате  и т.д. При этом контур С (граница области D) обходится в положительном направлении. Чаще всего применяется третья из этих формул. Для примера найдём площадь, ограниченную эллипсом . Параметрические уравнения эллипса , поэтому ; это, видимо, самый простой способ вычисления площади эллиптической области.