Числовые ряды и их свойства
Числовые ряды и их свойства.
Числовой ряд – это сумма бесконечного количества чисел, выбранных по определенному алгоритму. Обычно задают формулу общего члена ряда .
Примеры
1. 1+- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . Ее сумма равна ,
2. 1+1+1+…..Сумма этого ряда бесконечна.
3. 1-1+1-1… Сумма этого ряда не существует (ни конечная, ни бесконечная).
Рекомендуем посмотреть лекцию "Типовые структуры вычислительных систем".
При изучении рядов возникает основной вопрос: «Сходится ли ряд». Отвечая на этот вопрос для геометрической прогрессии, мы вычисляем последовательно 1+, =1+ 1+ - суммы n членов ряда – частичные суммы ряда .
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда – он называется суммой ряда
.
Ряд называется расходящимся, если предел частичных сумм ряда бесконечен или вообще не существует.
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то .
Доказательство. . Пусть ряд сходится, тогда .
Необходимый признак позволяет отсеивать часть расходящихся рядов.