Соболевские пространства

§4. Соболевские пространства  и  .

Определим отображение

по правилу

и пусть Im − образ этого отображения. Замыкание образа в пространстве   называется Соболевским пространством и обозначается

                                    .

Определим отображение

Рекомендуемые материалы

по правилу

и пусть Im − образ этого отображения. Замыкание образа в пространстве   также называется Соболевским пространством и обозначается  .

Лемма 1.

Пусть .  Тогда

   .

Итак, для доказательства леммы 1 достаточно установить равенство:

                                .                                                           (1)

Сначала мы предположим, что . Функцию  можно продолжить нулем за пределы .  Запишем соотношение (1) в виде:

                           .                                                         (2)

Ограниченность носителя   означает, что он лежит в достаточно большом кубе:     .

Поэтому (2) можно записать в эквивалентном виде:

                                    .

Записав  n-кратный интеграл в виде повторного, будем иметь:

                  .                                (3)

Остается заметить, что для функции 

                                     ,

так, что   и  (3)  совпадает  с  обычной формулой интегрирования по частям,

поскольку  благодаря ограниченности носителя, то есть внеинтегральные члены нулевые.

Пусть теперь   произвольный вектор. По определению, найдется последовательность  такая, что . Последнее равносильно тому,  что    в    и     в  .  По доказанному:

                                           .

Пользуясь непрерывностью скалярного произведения, переходя к пределу при  при фиксированной функции , получим утверждение леммы 1 в общей ситуации.

Определение 1.

Пусть для функции   существует функция  , такая, что:

                                          .

Тогда функцию    называют обобщенной производной функции    по переменной  .

Пример. Функция  имеет обобщенную производную sgn . В самом деле:

      .

Как следует из доказательства леммы 1, общая производная, если она лежит в , является обобщенной производной.

Лемма 2.

Если обобщенная производная существует, то она единственна.

Доказательство.

"4.6 Политика Просвещенного абсолютизма Екатерины II" - тут тоже много полезного для Вас.

Пусть . Тогда . Поскольку  является плотным множеством в , то найдется последовательность . Переходя к пределу получим  ,  или  . Лемма доказана.

Теперь мы знаем, что вектор однозначно восстанавливается по первой компоненте. Остальные компоненты  являются обобщенными производными первой компоненты. Поэтому в дальнейшем под элементами  будем понимать первые компоненты  f  вектора  .

Иногда  приходится  рассматривать пространство , состоящее из функций f, все первые обобщенные производные которых так же лежат в . Очевидно .

Теорема.

Если область ограничена и имеет границу класса  ,  то  =.

Доказательство теоремы громоздкое. [см.1]