Соболевские пространства
§4. Соболевские пространства 
и 
.
Определим отображение
по правилу
и пусть Im
− образ этого отображения. Замыкание образа в пространстве 
называется Соболевским пространством и обозначается
.
Определим отображение
Рекомендуемые материалы
по правилу
и пусть Im
− образ этого отображения. Замыкание образа в пространстве также называется Соболевским пространством и обозначается 
.
Лемма 1.
Пусть 
. Тогда
.
Итак, для доказательства леммы 1 достаточно установить равенство:
. (1)
Сначала мы предположим, что 
. Функцию 
можно продолжить нулем за пределы 
. Запишем соотношение (1) в виде:
. (2)
Ограниченность носителя 
означает, что он лежит в достаточно большом кубе: 
.
Поэтому (2) можно записать в эквивалентном виде:
.
Записав n-кратный интеграл в виде повторного, будем иметь:
. (3)
Остается заметить, что для функции
,
так, что 
и (3) совпадает с обычной формулой интегрирования по частям,
поскольку 
благодаря ограниченности носителя, то есть внеинтегральные члены нулевые.
Пусть теперь 
произвольный вектор. По определению, найдется последовательность 
такая, что 
. Последнее равносильно тому, что 
в 
и 
в . По доказанному:
.
Пользуясь непрерывностью скалярного произведения, переходя к пределу при 
при фиксированной функции 
, получим утверждение леммы 1 в общей ситуации.
Определение 1.
Пусть для функции 
существует функция 
, такая, что:
.
Тогда функцию называют обобщенной производной функции по переменной 
.
Пример. Функция 
имеет обобщенную производную sgn 
. В самом деле:
.
Как следует из доказательства леммы 1, общая производная, если она лежит в , является обобщенной производной.
Лемма 2.
Если обобщенная производная существует, то она единственна.
Доказательство.
"4.6 Политика Просвещенного абсолютизма Екатерины II" - тут тоже много полезного для Вас.
Пусть 
. Тогда 
. Поскольку 
является плотным множеством в , то найдется последовательность 
. Переходя к пределу получим 
, или 
. Лемма доказана.
Теперь мы знаем, что вектор 
однозначно восстанавливается по первой компоненте. Остальные компоненты 
являются обобщенными производными первой компоненты. Поэтому в дальнейшем под элементами 
будем понимать первые компоненты f вектора 
.
Иногда приходится рассматривать пространство 
, состоящее из функций f, все первые обобщенные производные которых так же лежат в . Очевидно 
.
Теорема.
Если область ограничена и имеет границу класса 
, то =.
Доказательство теоремы громоздкое. [см.1]
