Прямая сумма гильбертовых пространств

§3. Прямая сумма гильбертовых пространств.

Пусть  гильбертовы пространства со скалярными произведениями  соответственно. Тогда множество пар , где  образует векторное пространство  со сложением

и умножением на число

.

После задания в  скалярного произведения пар   и    по правилу

оно превращается в гильбертово пространство с нормой

.

Рекомендуемые материалы

Если  и  были сепарабельными, то и  будет сепарабельным. Сходимость  последовательности в  равносильна сходимости двух последовательностей  и  v_n →v   в пространствах  и  соответственно.

"6. Регистрация документов" - тут тоже много полезного для Вас.

Пространство Н называется прямой сумой гильбертовых пространств  и  и обозначается . По индукции можно определить прямую сумму любого конечного числа пространств. В частности, определены гильбертовы пространства  .

Лемма (о непрерывности скалярного произведения).

Если   и  в гильбертовом пространстве , то  при  .

Доказательство.

.

Здесь мы воспользовались ограниченностью  для сходящейся последовательности.