Линейные функционалы

§2. Линейные функционалы.

Задача2. Доказать, что в гильбертовом пространстве справедливо неравенство Коши-Буняковского .

Определение 1.

Линейное отображение гильбертова пространства  в комплексные числа называется функционалом 

                     .

Определение 2.

Функционал  на  называется непрерывным, если

       .

Определение 3.

Рекомендуемые материалы

Функционал    на   называется ограниченным, если

                       .

Теорема 1.

Линейный функционал непрерывен ограничен.

Доказательство.

Пусть  ограничен.  Возьмем   и  .  Тогда

.

Непрерывность функционала установлена.

Если же функционал непрерывен, то берем . Тогда существует  из определения непрерывности. Для произвольного  положим

                                       . 

Тогда                       .

Отсюда  . Ограниченность установлена.

Пример1. В гильбертовом пространстве  для всякого  определен линейный функционал   по правилу

.

Ввиду неравенства Коши-Буняковского он является ограниченным (непрерывным)

.

Ниже мы докажем теорему Рисса о том, что других линейных функционалов в гильбертовом пространстве нет.

Определение 4.

Ортогональным дополнением множества  в гильбертовом пространстве  называют множество

.

Определение 5.

Подмножество  гильбертова пространства  называют линейным многообразием, если

.

Определение 6.

Линейное многообразие  называется подпространством, если оно замкнуто.

Пример2.  − подпространство в  .

− подпространство в  .

Пример3.  − линейное многообразие в , не являющееся подпространством, поскольку замыкание  .

Задача3. Доказать, что   − подпространство при любом  .

Теорема 2.

Если  − подпространство в , то 

Напомню, что знак прямой суммы означает существование   единственных векторов    таких, что 

Теорема 3. (Теорема Рисса)

Для всякого линейного непрерывного функционала  в гильбертовом пространстве  найдется единственный вектор    такой, что  .

Определение 7.

Ядром линейного функционала называется множество

ker .

Лемма.

ker  является подпространством (сравни с задачей 3).

Доказательство.

Если  ker, то  . Тем самым,  ker.

Покажем замкнутость ker. Если ker− сходящаяся к  последовательность, то ввиду непрерывности  имеем  ker, что доказывает замкнутость  ker. Лемма доказана.

Доказательство теоремы 3.

По теореме2 имеем kerker^┴. Докажем одномерность  пространства ker^┴. Пусть υ₁,υ₂ker^┴. Тогда w=υ₁υ₂υ₂υ₁ker^┴. С другой стороны  wυ₁υ₂υ₂υ₁=υ₁υ₂υ₂υ₁, поэтому  w ker .

Отсюда (w,w), то есть w − одномерность доказана.

Люди также интересуются этой лекцией: Ханство Абылая.

Пусть  единичный вектор из ker^┴. По теореме 2  имеем

       ker       ker ^┴   .

Тогда  .

Далее, .  Таким образом

         ,  т.е.  υ .

Докажем единственность вектора υ. Если , .  Полагая , установим .