Эквивалентные нормы в гильбертовых пространствах

§ 10. Эквивалентные нормы в гильбертовых пространствах.

Определение 1.

Две нормы  и  в пространстве   называются эквивалентными, если существуют  такие, что    и   .

Следствие. Если последовательность  фундаментальна в одной норме пространства , то она фундаментальна и в эквивалентной норме.

Определение 2.

Два скалярных произведения в евклидовом пространстве  называются эквивалентными, если эквивалентны соответствующие им нормы.

Пример1. Пусть  измеримая в  функция, удовлетворяющая неравенствам  для  п. в. .

Тогда скалярное произведение  эквивалентно исходному в пространстве  :  .

Аналогично, .

Рекомендуемые материалы

Теорема 1.

В конечномерном векторном пространстве любые две нормы эквивалентны.

Доказать самостоятельно.

Теорема 2.

Пусть  – измеримая ограниченная неотрицательная функция, определенная в произвольной ограниченной области . Пусть – измеримые функции в , удовлетворяющие условию:

    ,    для  п. в. ,                  (1)

тогда формула

определяет в пространстве   скалярное произведение, эквивалентное исходному.

Доказательство.

По неравенствам (1)

      .                             (2)

В обратную сторону

                    .                                                      

Если бы удалось доказать, что

              ,                                                  (3)

то получили бы

                ,

и эквивалентность норм была бы установлена.

Остается доказать неравенство (3), называемое неравенством Стеклова-Фридрихса.

Пусть . Тогда

                   .

Возведем его в квадрат, воспользуемся неравенством Коши

                             .

Теперь проинтегрируем по  :       .

Для функции ,  где   имеем

.

Всякая ограниченная область  может быть помещена в слой , поэтому ,  и справедливо неравенство

                          .

Поскольку  плотно в ,  то предельным переходом устанавливается неравенство (3)  с   .

Теорема 3.

Пусть  – ограниченная область с границей класса  , – измеримая ограниченная неотрицательная функция на .

 Пусть  – те же,  что в теореме 2.  Тогда формула

                                           (4)

определяет в пространстве  скалярное произведение, эквивалентное исходному,  если  одновременно не равны тождественно нулю.

Доказательство.

В интеграле по   в формуле (4) под  понимаются следы этих функций на границе.  Тогда, ввиду ограниченности оператора следа, .

Поэтому .

Остается оценить вторую норму снизу. От противного, пусть имеется последовательность  такая, что . Можно считать, что . Тогда по неравенству (1) имеем:

Информация в лекции "4.6 Разгон центрального микропроцессора" поможет Вам.

.

Отсюда следует, что  в  при . Из ограниченной последовательности  в пространстве  можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность . По теореме о компактности вложения  эта же подпоследовательность является сходящейся в пространстве . Сходимость функции и ее производных в  эквивалентна сходимости в . Поэтому  в , причем  .  Следовательно, .

Переходя к пределу в неравенстве ,  получаем:

                                .

Поскольку   и  функции  не являются нулями  одновременно, то . Это противоречит тому, что .

Теорема доказана.