Минимизация КНФ

Минимизация КНФ

Определение. Элементарная дизъюнкция u называется имплицентой булевой функции F , если  . 

Например, элементарная дизъюнкция   является имплицентой функции .

Определение. Если никакая собственная часть  имплиценты u ( т.е. ) булевой функции F не является имплицентой F, то u называется простой имплицентой (т. е. если удаление из u хотя бы одного литерала нарушает условие , то u – простая имплицента).

Например,  – простая имплицента булевой функции ,  имплицента  не является простой для этой функции , так как  (собственная часть имплиценты ) является имплицентой функции F.

Определение.  Конъюнкция всех простых имплицент булевой функции F называется сокращенной КНФ (СкКНФ) функции F.

Рекомендуемые материалы

Например,   – СкКНФ булевой функции . Отметим, что СкКНФ является единственной для конкретной булевой функции F.

Определение.  КНФ булевой функции F, содер­жащая наименьшее число множителей среди всех КНФ, реализующих функцию F, называется кратчайшей КНФ (КрКНФ).

Например, является также и КрКНФ этой же булевой функции F.

Вообще говоря, для заданной булевой функции F может существовать несколько различных по числу вхождений литералов КрКНФ.

Определение. КНФ булевой функции F, содер­жавшая наименьшее число вхождений литералов среди всех КНФ, ре­ализующих функцию F, называется минимальной КНФ (МДНФ).

Отметим, что для заданной булевой функции F существует, вообще говоря, несколько МКНФ, отличающихся друг от друга чис­лом  слагаемых.

Более того, МКНФ не всегда совпадает с КрКНФ булевой функции n переменных F. Хотя для начальных значе­ний n ( n = 2 или n = 3 ) МКНФ всегда совпадает с КрКНФ. Например,  является КрКНФ и МКНФ рассматриваемой функции F.

Задача минимизации булевой функции  в классе КНФ формулируется следующим образом: тре­буется для булевой функции n переменных F построить КНФ с минимально возможным числом множителей (КрКНФ) или с мини­мально возможным числом вхождений литералов (МКНФ).

Также отметим, что задача минимизации булевых функций n переменных F в классе КНФ также как и задача минимизации булевых функций n переменных F в классе ДНФ является чрезвычайно громоз­дкой и ее трудоемкость с ростом n  возрастает по экспонен­циальному закону.

К настоящему времени разработано около 200 различных ме­тодов минимизации булевых функций в классе КНФ.

Пример. Составить по таблице истинности СКНФ булевой функции   и минимизировать ее, применяя законы склеивания.

Решение.

СКНФ будет иметь вид: .

Минимизируем ее, применяя законы склеивания. Подчеркнем дизъюнкции, которые можно склеить. Очевидно, что это можно сделать различными способами, например:

,

.

Выберем один из возможных вариантов склеивания, например  и минимизируем КНФ:

.

Замечание. При минимизации КНФ достаточно часто (но не всегда!) удается получить лучшие результаты, если «нарастить» данную КНФ используя свойство идемпотентности дизъюнкции: .

Например, в рассматриваемом примере третью, последнюю дизъюнкцию  можно было бы склеить со второй дизъюнкцией . Добавив  вторую дизъюнкцию еще раз, мы не изменим саму булеву функцию, но получим в результате минимизации КНФ более короткое ее представление:

.

Ответ: F

Пример. Составить СКНФ булевой функции, заданной вектором значений таблицы истинности w(F)=(00100111)  и минимизировать ее, применяя законы склеивания.

Решение. Так как вектор значений заданной булевой функции имеет 8=2³ разрядов, следовательно, булевой функции соответствует следующая таблица истинности:

Вам также может быть полезна лекция "2. Горные предприятия".

СКНФ будет иметь вид:

.

К сожалению, минимизировать ее, применяя законы склеивания, невозможно.

Ответ: .