§ 2. Входной поток клиентов

Рассмотрим последовательности случайных величин

.

Предположим, что t_o = 0 – начальный момент функционирования системы; t₁ = t_o + τ₁,  t₂ = t₁ + τ₂, …, t_k = t_k-1 + τ_{k, ….,} где τ_k – независимые случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром λ.

Здесь t₁ – момент поступления первого клиента, τ₁ – промежуток времени между началом работы системы и моментов прихода первого клиента, τ₂ – промежуток времени между моментами прихода первого и второго клиентов, и т.д.

Последовательность , заданная вышеуказанным образом называется простейшим (пуассоновским) потоком. А постоянная называется параметром простейшего потока.

Свойства простейшего потока

1. Сдвиг потока на величину Т

Пусть имеется простейший поток с параметром λ.

Сдвигая поток на величину Т, получаем поток  , который также будет являться простейшим потоком с тем же параметром λ. Например, если T находится между  и , то новый поток выглядит так:

  , ….

Рекомендуемые материалы

2. Слияние двух потоков

Пусть имеются два независимых простейших потока

с параметрами λ⁽¹⁾, λ⁽²⁾ соответственно. Будем говорить,  что  поток             образовался в результате слияния двух потоков, если множество {t_k} есть объединение множеств {t_k⁽¹⁾}, {t_k⁽²⁾} и элементы множества {t_k} упорядочены в порядке возрастания.

Поток              ,   получившийся  в   результате   слияния  двух     независимых     простейших     потоков                               , является тоже простейшим потоком с параметром  λ = λ⁽¹⁾ + λ⁽²⁾, где λ^(j) – параметр потока

3. Разделение простейшего потока

 Пусть имеется   простейший  поток                с  параметром λ,

 и последовательность  независимых случайных величин        , принимающих два значения:   

P(ξ_i = 1) = p,   P(ξ_i = 0) = q,   p ³ 0,   q ³ 0,   p + q = 1.

       Такие случайные величины называются бернуллиевскими (с параметром p). Процедура разделения потока {t_k} состоит в следующем: число t_i отнесем к первому потоку, если ξ_i = 1; если же ξ_i = 0, то число t_i отнесем ко второму потоку. Такую операцию разделения потока на два назовем бернуллиевской (с параметром  p).

Потоки                 , полученные     в   результате бернуллиевского   разделения   простейшего   потока              , являются независимыми   простейшими   потоками   с   параметрами   λ⁽¹⁾ = λp, λ⁽²⁾ = λq соответственно.

Отметим, что доказательства этих свойств простейшего потока можно найти в [  ].

Через X(t) в дальнейшем будем обозначать число клиентов в системе в момент t, т.е.

Свойства пуассоновских процессов

1) X(t) есть пуассоновский процесс с параметром λ, т.е.

2) Приращение пуассоновского процесса однородное.

       Обозначим через X((a,b]) = X(b) – X(a) приращение процесса, которое может быть интерпретировано как число клиентов, поступающих в систему в промежутке (a,b]. Однородность означает выполнение условия:

P(X((a,b]) = k) = P(X((0,b-a]) = k) = P(X(b-a) = k),

т.е. распределение вероятностей числа клиентов, поступающих в систему в промежутке (a,b], зависит только от длины этого промежутка.

3) Приращения пуассоновского процесса независимы.

Рассмотрим промежуток (0, b] и предположим, что он разбит на непересекающиеся промежутки (0, b₁], (b₁, b₂], ¼, (b_N-1, b_N]. Пусть b₀ = 0. Тогда X((b₀, b₁]), X((b₁, b₂]), ¼, X((b_N-1, b_N]) – число клиентов, поступающих в систему в соответствующие периоды времени. Эти величины независимы, т.е.

P(X((b₀, b₁]) = i₁, ¼, X((b_N-1, b_N]) = i_N) =

= P(X((b₀, b₁]) = i₁) ××× P(X((b_N-1, b_N]) = i_N).

Доказательства этих свойств можно найти в [  ].

Задачи к § 2.

2.1. Имеются две случайные величины t₁ и t₂. Они независимые и имеют показательное распределение с параметрами l₁ и l₂ соответственно. Введем следующую случайную величину: t = min{t₁, t₂}. Доказать, что эта величина имеет показательное распределение с параметром l=l₁+l₂.

2.2. Даны две независимые случайные величины x₁ и x₂, имеющие пуассоновское распределение с параметром l₁ и l₂ соответственно. Пусть случайная величина x =x₁+x₂. Доказать, что эта величина имеет распределение Пуассона с параметром l=l₁+l₂.

2.3. Пусть x - число клиентов в магазинах и имеет распределение Пуассона с параметром l. Пусть каждый клиент с вероятностью p делает покупку в этом магазине. Требуется доказать, что число клиентов, сделавших покупку в этом магазине, имеет распределение Пуассона с параметром lp.

2.4. Посетители приходят в ресторан в соответствии с пуассоновским потоком со средней частотой 20 посетителей в час. Ресторан открывается в 11.00.

Найти:

В лекции "Стратегия качества продукции" также много полезной информации.

а) вероятность того, что в 11.12 в ресторане окажется 20 посетителей при условии, что в 11.07 в ресторане было 18 посетителей;

б) вероятность того, что новый посетитель прибудет в ресторан в интервале между 11.28 и 11.30, если известно, что предыдущий посетитель прибыл в ресторан в 11.25.

2.5. Продукция берется со склада, вмещающего 80 единиц складируемой продукции, в соответствии с пуассоновским потоком с интенсивностью 5 единиц продукции вдень.

Найти:

а) вероятность того, что в течении первых двух дней со склада будет взято 10 единиц продукции;

б) вероятность того, что к концу четвертого дня на складе не останется ни одной единицы продукции.