Метод симмтричной последовательной верхней релаксации (SSOR)

3.6. Метод симмтричной последовательной верхней релаксации (SSOR)

Это двойное применение метода SOR в противоположных направлениях на каждой итерации. Вначале обычным методом SOR отыскивается промежуточное приближение

        (3.28)

а затем оно корректируется в обратном порядке, т.е.

  (3.29)

Такая комбинация методов SOR приводит к тому, что результирующая матрица итераций  оказывается подобной симметричной матрице. В самом деле, методы (3.28) и (3.29) можно записать в матричном виде

откуда следует

Рекомендуемые материалы

поэтому

Вычислим

Окончательно

Если , то , кроме того , поэтому , а матрица шага метода SSOR симметрична:  .

Известно, что сам по себе метод SSOR сходится не быстрее, чем обычный SOR при оптимальном выборе параметра релаксации , однако он обладает тремя привлекательными свойствами:

1. Из-за симметричности его матрица может быть использована в качестве предобуславливателя (preconditioner, оператор В) для других итерационных методов (у него хорошие свойства («похож на A » ) и он легко обратим).

2. Скорость сходимости SSOR меньше зависит от оптимальности выбора параметра .

3. Характер сходимости более плавный, нет скачков в поведении приближенных решений, значит он может использоваться в качестве сглаживателя в многосеточном методе.

Пример.

Ниже приводится текст программы решения модельной задачи Дирихле для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами методом SSOR.

//... An iteration of Zeidel, SOR, SSOR .....................

 Procedure ZS_iter;

 var i:integer;

 begin

    For i:=1 to N-1 do

    begin

      A:=1; B:=1; C:=A+B; Fi:=F^[i]*h2;

      yZeidel:=(A*y^[i-1] + B*y^[i+1] + Fi)/C;

      if Method=Zeidel then y^[i]:=yZeidel else

      y^[i]:=w*yZeidel + (1-w)*y^[i]; // SOR

    end; //i

   // SSOR

   if Method=SSOR then

   For i:=N-1 downto 1 do

    begin

Информация в лекции "Значение и история изучения инфекционных болезней" поможет Вам.

      A:=1; B:=1; C:=A+B; Fi:=f^[i]*h2;

      yZeidel:=(A*y^[i-1] + B*y^[i+1] + Fi)/C;

      y^[i]:=w*yZeidel + (1-w)*y^[i];       // SOR

    end; //i

 end; // ZS_iter

Задание.  Составить программу SSOR для переменных коэффициентов, сравнить скорость сходимости с методом SOR и проверить чувствительность к оптимальному выбору параметра релаксации.