Лекция 11

ЛЕКЦИЯ № 11. Оценка вероятностей возможных последствий от нарушений электроснабжения потребителей

Для решения широкого класса задач эксплуатации и проектирования с учётом фактора надёжности необходимо определение вероятностей возникновения возможных последствий от нарушения электроснабжения потребителей, которые сводятся к следующим:

 - вероятность возникновения катастрофических и аварийных ситуаций, исследование которых необходимо для нормирования надёжности электроснабжения;

 - вероятность возникновения отдельных составляющих ущерба, их величина и различные пути развития нарушения производственного процесса – для оптимизации проектных решений по выбору схем и решения задач рациональной эксплуатации существующих и создаваемых систем электроснабжения.

Стремление определить эти показатели выдвигает проблему разработки таких методов их оценки, которые базировались бы на реально достижимых объёмах статистических данных. Одним из путей решения подобного класса задач является применение метода экспертных оценок.

В случаях, когда оцениваются вероятности неблагоприятных событий, у экспертов, как правило, проявляется склонность к преувеличению плохого, поэтому можно ожидать завышения оценок. На относительную ошибку оценок, высказываемых разными экспертами, влияет степень их моральной ответственности за последствия оцениваемых событий. Поэтому в большинстве случаев оценки специалистов по эксплуатации бывают более пессимистичны оценок проектировщиков. Величина относительной ошибки зависит и от индивидуальных качеств экспертов.

Для получения несмещённых объективных оценок членов экспертной группы и согласованных групповых оценок требуется определение коэффициентов их компетентности. Из рекомендуемых разными исследователями методов наиболее подходящим представляется сравнение оценок, высказываемых экспертами, с фактическими показателями (статистическими средними) аналогичных объектов. Но объекты с известными показателями, как правило, отсутствуют; имеются только результаты оценки последствий отдельных нарушений электроснабжения, по которым расчёт статистического среднего, как уже отмечалось, может дать ещё большую ошибку, чем метод экспертных оценок. Поэтому при выводе средних оценок анализируемых показателей компетентность всех экспертов часто принимается одинаковой, что приводит к пониженной точности и смещённости групповой оценки.

Информацию о последствиях нарушений электроснабжения для уточнения весовых коэффициентов компетентности целесообразно использовать при любом сколь угодно малом её объёме. Уточнение весовых коэффициентов на основании этой информации может быть выполнено с помощью теоремы гипотез (формулы Байеса), которая дает возможность минимизировать средний риск (математическое ожидание квадрата ошибки) при их получении. Если на первом шаге определения групповой оценки экспертным методом априорные значения весовых коэффициентов компетентности принимаются одинаковыми, то полученные в результате применения теоремы гипотез их апостериорные значения будут скорректированы на основании имеющейся статистической информации, причём уточнение весовых коэффициентов может быть выполнено в несколько этапов, по мере поступления дополнительной информации. Следовательно, использование теоремы гипотез может рассматриваться как процесс последовательного уточнения принимаемых решений по мере накопления статистической информации.

Пример. По результатам опроса группы экспертов, оценки вероятности неблагоприятных последствий внезапных нарушений электроснабжения одного из объектов нефтеперерабатывающего завода соответствуют следующим величинам:

Верхняя граница вероятности при внезапных нарушениях электроснабжения того же объекта, по статистическим данным, . Вероятность истинности оценок экспертов принята равной коэффициентам их компетентности, которые на первом этапе считаем одинаковыми: . При этом возможны две гипотезы:  – суждение экспертов истинно;  – истинны результаты статистики. Вероятности этих гипотез: ; .

Условные вероятности оцениваемых событий (при равномерном законе распределения):

,

,

,

.

На основании теоремы гипотез вероятность истинности мнений экспертов с учётом статистических данных равна

,

, , .

В соответствии с полученными результатами экспертам необходимо присвоить новые весовые коэффициенты компетентности:

, , ,  ().

Уточнённая оценка .

Рассмотрим применение теоремы гипотез ещё на одном примере. Допустим, что К экспертов оценивают условные вероятности возникновения аварийных ситуаций в технологической схеме предприятия при нарушениях электроснабжения как , ,…, .

Предположим, что за рассматриваемый период эксплуатации было зарегистрировано  случаев нарушения электроснабжения,  из которых привели к аварийным ситуациям со срывом производственного процесса ().

Примем априорно (без учёта зарегистрированной статистики), что совпадение искомой вероятности  с каждой из оценок экспертов  равновероятно, т.е. весовые коэффициенты компетентности экспертов одинаковы. Применяя теорему гипотез, определим, как повлияют на принятые априорно весовые коэффициенты сведения о фактических результатах  нарушений электроснабжения. Апостериорные величины их определятся на основе биномиального распределения согласно выражению

,

где  – априорная вероятность истинности оценки i-ro эксперта, или его весовой коэффициент; на первом шаге применения теоремы гипотез , ;  – условная вероятность того, что  нарушений электроснабжения приведут к  аварийным ситуациям в технологической схеме при условии, что верна гипотеза, высказанная -м экспертом.

Задача уточнения расчётных вероятностных показателей в условиях отдельных действующих предприятий требует привлечения байесовского решающего правила, когда параметр исследуемой случайной величины не является случайным. При этом уточняется вероятность принятия той или иной оценки этого параметра. Формула Байеса, используемая для уточнения распределения вероятностей, имеет вид

,                              (1)

где  – априорная плотность распределения вероятностей принятия той или иной оценки параметра из высказанных экспертами;  – апостериорная плотность, характеризующая то же распределение после того, как к априорной информации, полученной из экспертного опроса, добавилась информация, извлечённая из статистических данных;  – функция правдоподобия, характеризующая наиболее вероятное значение параметра для осуществления  оцениваемых аварийных ситуаций при  случаях нарушений электроснабжения.

Таким образом, с помощью (1) по априорной плотности  и результатам статистических наблюдений может быть вычислена плотность апостериорного распределения  вероятностей.

Задача заключается в том, чтобы по этой плотности определить искомый параметр. Известно несколько методов оценивания, среди которых наибольшее распространение получил метод, оценка параметра по которому удовлетворяет условию среднего риска (минимуму среднеквадратической ошибки):

                                            (2)

Если количество аварийных ситуаций в технологической схеме при внезапных нарушениях электроснабжения описывается биномиальным законом распределения,

.                                              (3)

Параметр биномиального распределения р можно считать подчиняющимся бета-распределению, плотность которого

,                                  (4)

где ,  – параметры распределения, значения которых устанавливаются на основании данных экспертного опроса.

После подстановки (3) и (4) в (1) получим апостериорную плотность . По известной плотности, используя (2), получаем оценки математического ожидания и дисперсии:(5)

Пример. Уточним вероятность возможного повреждения оборудования при внезапном нарушении электроснабжения на одной из технологических установок нефтеперерабатывающего завода.

По данным априорной информации (результаты экспертного опроса), вероятность повреждения Р(х)=М(х)=0,3 и D(x)=0,015. По результатам эксплуатации, общее количество зарегистрированных нарушений электроснабжения этой установки за период наблюдений , из них с повреждением оборудования .

Будем считать, что априорное распределение параметра вероятности повреждения оборудования подчиняется -распределению с параметрами

,

.

Уточненные при помощи дополнительной информации числовые значения исследуемых вероятностей определятся по (5) и составят  и .

Для уточнения характеристик ущерба требуются сведения о времени, необходимом для устранения последствий нарушений электро­снабжения, статистические сведения о которых также незначительны. Инженерный анализ их возможного изменения позволяет предположить, что очи могут быть описаны нормальным законом распределения. Закон распределения параметров этих случайных величин также может быть принят нормальным. Апостериорная плотность , определенная при этих условиях по (1):

Вместе с этой лекцией читают "Лекция 11".

где  – параметр апостериорного закона распределения;  – оценка математического ожидания случайной величины, определённая по результатам обработки оценок экспертов;  – оценка дисперсии случайной величины, определенная по результатам обработки оценок экспертов;  – значения исследуемых показателей по данным статистики;  – дисперсия исследуемых показателей.

Так как в условиях нашей задачи  неизвестна, а получить какие-либо уточняющие её сведения не представляется возможным, можно предположить, что . Выражения для оценки математического ожидания и дисперсии принимают вид

, .                                      (6)

Пример. По результатам, полученным методом экспертных оценок, выявлено, что время наладки технологического процесса на одном из технологических агрегатов после перерыва электроснабжения  ч составляет  ч, с дисперсией .

На основании статистической информации установлено, что в практике эксплуатации имелся случай внезапного нарушения электроснабжения  мин. Время наладки технологического процесса составило ч.

По формулам (6) имеем:  ч, .