Лекция 11.1

Лекция № 11.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ, АНАЛИЗА И КОНТРОЛЯ НАДЕЖНОСТИ

Тема № 1. Сбор информации об отказе элементов технических систем

В общем комплексе мероприятий по обеспечению надёжности любого изделия сбор статистической информации об отказах и оценка показателей надёжности в условиях эксплуатации являются последним, заключительным этапом. При этом появляется возможность оценить реальные значения показателей надежности и, следовательно, оценить эффективность мероприятий по обеспечению надёжности на всех этапах – проектирование, производство, испытания, монтаж, эксплуатация. По результатам оценки реальных значений показателей надежности потребитель имеет возможность предъявлять претензии поставщику, что является важным средством «внешнего» контроля и корректировки конструкции, технологического процесса и правил эксплуатации. Поэтому особое значение приобретает вопрос качества получаемых в эксплуатации оценок показателей надёжности. Качество получаемых оценок, в свою очередь, зависит от того, насколько тщательно организован сбор информации, насколько обеспечены полнота и достоверность информации о наработке и отказах изделия и насколько адекватны и корректны методы её обработки.

Посредством сбора и обработки информации о надёжности изделий промышленности и объектов решаются следующие задачи:

- определение (контроль) количественных показателей надёжности;

- определение причин отказов;

- выявление деталей, сборочных единиц и комплектующих, которые лимитируют надёжность изделия;

Рекомендуемые материалы

- накопление данных для прогнозирования надёжности вновь создаваемых и находящихся в эксплуатации элементов, изделий и систем;

- установление и корректировка нормируемых показателей надёжности;

- оптимизация норм расхода запасных частей и системы технического обслуживания и ремонта;

- выявление условий и режимов эксплуатации, влияющих на надёжность;

- определение экономической эффективности повышения надёжности.

Вопросами сбора и обработки информации о надёжности изделий должны заниматься головные организации и службы надёжности (качества) на предприятиях-изготовителях и предприятиях-потребителях.

Сбор информации может быть организован в форме постоянных наблюдений (сплошных или выборочных) или периодами отделённой длительности. Целесообразность использования того или иного источника информации или варианта наблюдения определяется конкретными целями анализа и требованиями к полноте и достоверности получаемой информации с учётом ограничений технического и экономического характеpa. Например, длительные постоянные наблюдения в подконтрольной эксплуатации позволяют обеспечить высокое качество информации и получить исходные данные для решения всего комплекса перечисленных задач. Однако организация таких наблюдений является трудоёмким и дорогостоящим мероприятием. Поэтому часто информация о надёжности изделий серийного производства собирается с начала их эксплуатации потребителем. Для оценки надёжности изделий, имеющих большой срок службы и выпускаемых малыми сериями или уникальных, допускается начать сбор информации с очередного капитального ремонта или профилактического осмотра.

При организации сбора информации о надёжности, как правило, разрабатываются: техническое задание; программа наблюдений; инструкция по проведению работ на предприятиях, охватываемых системой сбора информации; методики анализа и обработки информации.

Попытки увеличить объём информации за счёт расширения парка наблюдаемых изделий или объектов сопряжены с опасностью уменьшения достоверности информации. Достоверность первичной информации обеспечивается полнотой и непрерывностью записей, глубиной и объективностью анализа причин отказов. Важно иметь в виду, что недостоверные первичные данные невозможно улучшить никакой, даже самой тщательной статистической обработкой.

Тема № 2. Состав информации

Возможности объективного анализа и обработки статистической информации о надёжности существенно зависят от полноты сведений о каждом отказе (повреждении).

В каждом конкретном случае состав фиксируемой информации определяется теми задачами, которые предстоит решить. В общем случае для решения задач необходимо при каждом нарушении работоспособности (функционирования) фиксировать:

- общую наработку и наработку от предыдущего отказа;

- внешние признаки и степень влияния отказа на работоспособность объекта или системы;

- условия среды в момент отказа;

- причину отказа (предполагаемую причину);

- «адресную» информацию;

- данные об оперативности переключения резерва;

- способ и время устранения отказа.

В зависимости от целей анализа объём и характер фиксируемой информации может изменяться.

Если оценке подлежат только показатели ремонтопригодности оборудования – свойства, заключающегося в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, устранению их последствий путём проведения технического обслуживания и ремонта, то можно ограничиться только информацией о способах и времени восстановления. Если кроме них оценке подлежат и показатели долговечности, то необходимо дополнительно фиксировать и характер отказа (например, ресурсный отказ).

Естественно, что работы по сбору информации о надёжности невозможны без четко установленных критериев (признаков) отказов и предельных состояний применительно к каждому типу оборудования (сборочной единицы узла, детали, объекта, системы). Для повышения достоверности информации (выявления ошибок и искажений в записях) рекомендуется предусматривать некоторую избыточность (дублирование) информации в документах первичного учёта.

Формы документов – носители информации о надёжности изделий должны быть по возможности универсальными и соответствовать действующей нормативно-технической документации.

Все формы подразделяются: на первичные формы учёта; формы-накопители; формы записи результатов количественного и качественного анализа. Например: паспорт оборудования; журнал учёта наработок, повреждений и отказов; журнал технического обслуживания и ремонтов; разовые документы по эксплуатации элементов, изделий, агрегатов, систем.

Все виды форм должны предусматривать возможность их обработки на ЭВМ. Существующими стандартами устанавливается форма донесения об отказе, которая содержит

Адресную информацию:

наименование, марку, тип, номер изделия; сведения о предприятии-изготовителе и ремонтном предприятии, дате выпуска, дате ремонта, дате отказа, адресные данные отказавших узлов и деталей.

Технико-экономические данные:

сведения о наработке, внешних проявлениях и характере отказа, условиях его выявления, технико-экономических последствиях, условиях эксплуатации и режимах работы, длительности восстановления работоспособности, физической трудоёмкости восстановления, исполнителях работ по восстановлению.

Информация об отказах проведении ремонтно-восстановительных и плановых ремонтов электроэнергетического оборудования служит не только для оценки надёжности, но и для изучения причин отказов, разработки мероприятий, направленных на повышение качества проектирования, изготовления, монтажа, ремонта и эксплуатации.

Для получения наиболее представительных оценок необходимо объединять данные целого ряда различных объектов. Допустимость такого объединения основывается на проверке гипотезы однородности статистического материала. Для оценок доверительных интервалов и проверки гипотез широко используется распределение χ².

С помощью математической статистики определяется также необходимый объём испытаний для оценки надёжности с заданной точностью и проверяется влияние на надёжность различных факторов (дисперсионный анализ) и взаимное влияние случайных параметров друг на друга (корреляционный анализ). Наконец, математическая статистика позволяет планировать испытания и исследования так, чтобы получить максимальную информацию при минимальных затратах (теория экстремальных экспериментов).

Тема № 3. Порядок обработки информации

Собранная в результате наблюдений информация представляет собой совокупность ситуаций очень разнородных по характеру, причинам возникновения, влиянию на работоспособность оборудования и систем. Поэтому обработка результатов наблюдений в качестве первого обязательного этапа должна включать качественный анализ информации (уточнение или отсеивание сомнительных данных, классификация, объединение данных по однотипному оборудованию и т.п.).

В зависимости от целей анализа классификация информации может быть проведена по разным признакам: степени влияния отказа на работоспособность объекта или системы, месту, причинам, отношению к оцениваемым показателям надёжности и т.д. Например, по степени влияния на работоспособность могут быть выделены существенные и несущественные отказы, полные и частичные отказы, повреждения, сбои и т.д. Классификация отказов по причинам определяется тем, к какому этапу жизненного цикла изделия, объекта или системы относится ошибка или недоработка, ставшая причиной отказа (конструктивная, технологическая, производственная, эксплуатационная). При классификации могут быть выделены отказы, учитываемые и не учитываемые при оценке того или иного показателя надёжности.

Если в задачу наблюдений входит оценка показателей надёжности, то результаты наблюдений, «очищенные» предварительной «инженерной» обработкой, подлежат дальнейшей статистической обработке. Статистическая обработка сводится к оценке точечных и интервальных значений показателей надёжности или оценке параметров функции распределения случайных величин, определяющих показатели надёжности, т.е традиционной задаче математической статистики.

Для этапа статистической обработки несущественно, какое из свойств исследуется – безотказность, долговечность, ремонтопригодность; какими единицами измеряется наработка изделий – количеством часов, циклов работы, мерами объёма (жидкости, газа) и т.п.

Наиболее важными для этапа статистической обработки являются такие факторы, как тип оцениваемого показателя надёжности, объём априорных сведений о наблюдаемой случайной величине и характер статистического материала.

Приступая к статистической обработке информации о надёжности, рекомендуется уделить особое внимание однородности выборки.

С точки зрения методов математической статистики, независимо от того, какое из свойств, определяющих надёжность, исследуется, всё многообразие показателей сводится к показателям двух типов: типа наработки и типа вероятности.

При определении показателя типа наработки непосредственно наблюдаемыми величинами являются случайные интервалы:

- наработки между отказами;

- наработки до предельного состояния;

- время восстановления;

- время хранения и т.п.

При определении показателей типа вероятности непосредственно наблюдаемыми величинами являются случайные числа событий:

- число отказов;

- число восстановлений;

- число предельных состояний и т.д. в общем количестве наблюдений фиксированного объёма.

С точки зрения объёма априорных сведений, задачи статистической обработки сводятся к двум вариантам.

1. Вид функции распределения наблюдаемой случайной величины известен априори. В этом случае задача статистической обработки – получение оценок показателей надёжности с учётом вида функции распределения и характера имеющегося статистического материала.

2. Вид функции распределения наблюдаемой случайной величины неизвестен или известен лишь предположительно. В этом случае принимается некоторая гипотеза о виде функции распределения и оцениваются ее параметры. Затем проводится проверка – не противоречат ли данные наблюдений принятой гипотезе. При положительных результатах этой проверки приступают к заключительному этапу обработки.

В такой постановке процесс статистической обработки более трудоёмок и состоит из следующих этапов: построение вариационного ряда; построение гистограммы; принятие гипотезы о виде закона распределения; оценка точечных значений параметров для принятия функции распределения; проверка непротиворечивости результатов наблюдений принятой гипотезе; оценка интервальных значений параметров функций распределения и показателей надежности (при положительных результатах предыдущего этапа).

В случае отрицательного результата процедуры проверки гипотезы процесс статистической обработки повторяется, начиная с этапа принятия гипотезы, при другом предположении о виде функции распределения.

Одной из особенностей информации в энергетике является то, что результаты наблюдений представляют собой, как правило, выборки, многократно усеченные, т.е. содержат кроме наработок до отказа и безотказные наработки (от начала наблюдений или от последнего восстановления до прекращения наблюдения).

Характер статистического материала определяется в основном следующими факторами: порядком начала и прекращения наблюдений; порядком ремонта (замены) отказавшего элемента; порядком контроля функционирования объекта или системы в условиях эксплуатации.

В зависимости от назначения объекта и конкретных условий его эксплуатации перечисленные факторы могут реализовываться в различных вариантах. В частности, контроль функционирования может быть непрерывным, периодическим либо только перед началом и по окончании выполнения некоторого фиксированного задания (объема работы).

Предусматриваются либо восстановления (замена) отказавших изделий непосредственно после отказов, либо эксплуатация без восстановления отказавших элементов до прекращения наблюдений. Может быть организовано одновременное начало наблюдений для всей совокупности объектов, начало и прекращение наблюдений для отдельных элементов (экземпляров) в разное время. Наблюдения могут быть организованы до отказа всех элементов, части элементов либо до истечения фиксированного времени (наработки). Однако в результате наблюдений (испытаний) получаются лишь три типа реализаций.

1. Полные реализации – наработки до отказа (между отказами или до предельного состояния) или отрезки времени от начала до окончания восстановления (или время гранения до отказа).

2. Неполные реализации – безотказные наработки как результат прекращения наблюдений до наступления отказа (цензурирование).

3. Условные реализации – наработки на момент контроля, при котором обнаружен отказ (получаются в условиях, когда нет непрерывного контроля функционирования и момент отказа неизвестен).

Перечисленным типам реализаций присвоены следующие графические обозначения:

ПОЛНАЯ реализация-----------*

НЕПОЛНАЯ реализация------- •

УСЛОВНАЯ реализация--------■

При помощи обозначений результаты наблюдений могут быть представлены графически соответствующим набором реализаций – диаграммой реализаций (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Графическая иллюстрация результатов наблюдений

Диаграмма реализаций наглядно и однозначно отражает специфику полученного статистического материала и позволяет выбрать адекватные его характеру правила обработки, т.е. правила получения точечных и интервальных оценок параметров функций распределения и показателей надежности.

Вопросы организации наблюдений, инженерной и статистической обработки информации при оценках показателей надежности являются универсальными. Они одинаково применимы к объектам разных, отраслей промышленности, в том числе и энергетики, составным частям и элементам оборудования приборам и комплектующим изделиям. Основными специфическими особенностями являются:

- чёткое определение объекта исследования;

- формулировка критериев отказов (критического, существенного, несущественного, полного, частичного и т.п.).

При этом при определении объекта исследования и формулировке критериев отказа можно отразить наличие или влияние человека-оператора.

2.4 Проверка гипотез

2.4.1 Проверка однородности статистического материала

Для более точного определения показателей: надёжности и установления видов законов распределения наработки на отказ и других случайных величин необходимо объединять статистические данные, собранные на различных объектах промышленных предприятий и энергосистем.

В связи с этим возникает задача проверки однородности статистического материала.

Помимо выборки х₁, х₂,…,х_n имеются также взаимно независимые величины  распределённые одинаково и непрерывно, но принадлежащие другой выборке. Объединим эти совокупности, расположив их в порядке возрастания значений . Обозначим G_m(x) – функция эмпирического распределения, соответствующая выборке .

Основная гипотеза Н₀, подлежащая проверке, заключаемся в предположении, что обе выборки извлечены из одной и той же совокупности, а значения функции распределения величин х и х' одинаковы. Эту гипотезу можно выразить тождеством

,

где F(x) – функция эмпирического распределения, построенного на выборке .

Для проверки нулевой гипотезы используется критерий Вилконсона, основанный на числе инверсий, под которыми понимается следующее: если какому-либо значению х предшествует некоторый  говорят, что эта пара дает инверсию.

Гипотеза H₀ отвергается, если сумма инверсий и превосходит выбранную в соответствии с уровнем значимости границу, определяемую из расчёта, что при объёмах  и  выборок число инверсий и распределено нормально с центром

                                                    (2.1)

и дисперсией

                                  (2.2)

Пример. Собраны статистические сведения о повреждаемости воздушных ЛЭП в двух энергосистемах.

Требуется определить, можно ли считать, что между данными о повреждаемости ЛЭП в разных энергосистемах нет систематических расхождений и что они имеют одинаковые систематические погрешности, т.е. нужно проверить нулевую гипотезу H₀.

Решение. Располагаем данные в общую последовательность в порядке возрастания повреждаемости:

Число инверсий для равно

По формулам (2.1) и (2.2) находим

Задавшись уровнем значимости 5% и учитывая, что обе энергосистемы являются равноправными, строим критическую область больших по абсолютной величине отклонений, используя значение .

Критическая область для гипотезы Н₀.

Полученное значение инверсии  не лежит в критической области, поэтому гипотеза Н₀ не опровергается и нет оснований считать энергосистемы существенно различающимися по аварийности ЛЭП.

2.4.2 Проверка гипотез о законе распределения случайной величины

Простейший способ проверки – графический. Построение функции распределения случайной величины проводится на вероятностной бумаге, своей для каждого вида распределения. Если координаты наблюдаемых точек  лежат вблизи прямой линии, проходящей через область их расположения, то выдвинутая гипотеза о виде закона распределения не отвергается.

Критерий А. Н. Колмогорова. При использовании необходимо иметь значения теоретической и экспериментальной функций для некоторого числа n значений аргумента. Далее определяется максимальное расхождение  между теоретическими и опытными данными (рис. 2.2)

,

где  и F(t) – опытное и теоретическое значения интегральной функции распределения.

А.К.Колмогоров доказал, что по значению , вычислив

можно по соответствующей таблице оценить вероятность Р(у) случайного получения подобного значения у [].

Если Р(у)>0,3...0,4, то опытная и теоретическая функции хорошо согласуются; если Р(у)<0,05...0,10, то наблюдаемое отклонение не случайно.

Рис. 2.2 Оценка величины расхождения опытных данных и теоретического распределения вероятностей

Необходимо отметить, что критерий Колмогорова предполагает известным из каких-либо предпосылок теоретического характера вид теоретического закона распределения исследуемой случайной величины.

Пример. Проверим соответствие гипотезы об экспоненциальном распределении данных о поврежденных ЛЭП 220кВ. Исходные данные –  – время безотказной работы,  – количество наблюдений и необходимые расчёты сведены в таблицу 2.1, где также обозначено:

Таблица 2.1

; ;  и  – эмпирическая и теоретическая функции распределения. Максимальному отклонению  при  соответствует

.

По таблице значений  критерия Колмогорова при  имеем (с аппроксимацией). Эта вероятность достаточно велика, чтобы считать отклонение действительно случайным, а гипотезу об экспоненциальном законе распределения не противоречащей полученным данным.

Критерий хи-квадрат Пирсона. Пусть проведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина X приняла определённое значение, и на основании наблюдений вычислены частости , где m_i – число отмеченных значений случайной величины, попадающих в i-й интервал или принимающих i-е значение. Всего r интервалов. В каждом интервале должно быть не менее 5...10 значений.

Из каких-либо положений теоретического характера высказывается предположение о виде закона распределения случайной величины дается теоретическая оценка частностей

К. Пирсон показал, что величина

           (2.3)

распределена по закону χ² с числом степеней свободы k, которое равно числу интервалов r и определяется выражением , где s=2...3 - число независимых условий, связей

1. ; 2. ; 3. .

Используя таблицу распределения χ², можно оценить вероятность

и вероятность 1 – q получения значения χ², равного наблюдаемой величине .

Пример. Проверим гипотезу об экспоненциальном распределении продолжительности работы 200 ламп накаливания с помощью критерия хи-квадрат Пирсона. Результаты наблюдений представлены табл.2.2 и гистограммой рис.2.3.

Решение. Плотность распределения . Уровень значимости примем

Таблица 2.2

Рис. 2.3 Гистограмма распределения продолжительности работы ламп накаливания

Математическое ожидание наработки на отказ  (При вычислении  берутся середины разрядов).

.

По (2.3) определяем . Здесь  По таблицам при  находим  [12].

Гипотеза о согласии с экспоненциальным законом распределения не отвергается. Отклонения незначимы.

2.5 Точность оценки. Доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Пусть для параметра a случайной величины получена оценка . Мы хотим оценить возможную при этом ошибку; δ – точность оценки.

Надежностью (доверительной вероятностью) называют вероятность, с которой выполняется неравенство ,

Тогда

,

т.е. с вероятностью β неизвестное значение параметра a попадет в интервал (рис. 2.4)

,

или это вероятность того, что данный интервал заключает в себе неизвестный параметр α.

Рис. 2.4. Доверительный интервал, верхняя α_В и нижняя границы а_Н

возможного изменения параметра а при доверительной вероятности b

Ширина доверительного интервала характеризует точность выборочной оценки, а доверительная вероятность β – достоверность оценки. Чем меньше β, тем шире доверительный интервал. В энергетике β принимается обычно в пределах 0,8...0,99. Для разных законов распределения величины  табулированы.

Пример. За год эксплуатации зарегистрирован m=21 случайных отказов воздушных выключателей  при отключении ими коротких замыканий. Число эксплуатируемых выключателей в этом году составляло . Оценить средний параметр потока отказов и его доверительные границы с доверительной вероятностью .

Решение. Примем гипотезу об экспоненциальном распределении для наработки на отказ, используя следующие выражения:

год^-1,

 год^-1,

 год^-1.

2.6 Контроль показателей качества и надёжности

При массовом производстве электротехнических изделий (различного рода реле, контакторов, низковольтных выключателей, предохранителей, сигнальных и освежительных ламп и т.п.) нет возможности для тщательной проверки каждого. При мелкосерийном производстве (например, высоковольтной аппаратуры) такая проверка может быть экономически нецелесообразной. В этих случаях проводится выборочный статистический контроль качества и надёжности, когда о генеральной совокупности судят по выборочной. Статистический контроль может проводиться либо в процессе производства (текущий, предупредительный контроль), либо по окончании цикла производства (приёмочный контроль). Приемочный контроль осуществляется у изготовителя (выходной контроль) и у потребителя изделий (входной контроль).

Если качество контролируемых изделий, характеризуется совокупностью результатов измерений, составляющих функцию от некоторого аргумента (возможно, векторного), то такой контроль называют контролем по функциональному признаку.

Пример. При контроле участка провода (кабеля) длиной L результаты измерений диаметра d(l) на расстоянии l от его начала определяют значение функции d(l), .

Есть три наиболее распространённых метода контроля: однократной выборки, двукратной выборки, последовательных испытаний.

При методе однократной выборки из контролируемой партии изделий отбирается случайным образом выборка фиксированного объёма n. Все изделия из выборки проверяют. Если d – число обнаруженных в выборке дефектных изделий – не более приёмочного числа с, то принимают решение D_j – принять партию; если d > с, то принимают решение D_i – забраковать партию (направить на сплошной контроль или переделку).

При методе двукратной выборки из контролируемой партии изделий также случайным образом вначале берут случайную выборку объёма n₁. По характеристикам качества и надёжности этой выборки принимается одно из трёх решений:

1) принять партию (решение D_j), если число d₁ дефектных изделий в этой выборке не более с₁;

2) забраковать партию (решение D_i), если ;

3) произвести ещё одну выборку объёма n₂, если .

Пусть d₂ – число дефектных изделий, обнаруженных во второй выборке, тогда, если , то партию принимают с решением D_j. Если , то партию бракуют.

При методе последовательных испытаний объём испытаний заранее не задаётся. Из контролируемой партии последовательно, но случайным образом берутся изделия (по одному или по нескольку) и определяются, их характеристики качества и надёжности. По этим характеристикам принимается одно из трёх решений: 1) принять партию; 2) забраковать партию; 3) продолжить испытания. Испытания заканчиваются, когда принимается первое или второе решение.

Лекция "Основные принципы проведения ДМ" также может быть Вам полезна.

По результатам последовательных испытаний составляют последовательность ε₁, ε₂, в которой , если i-е изделие, отобранное для контроля, оказалось дефектным, и , если годным.

Результаты последовательных испытаний можно представить в виде движения по точкам решётки (k,d). Начальной точкой является (0,0). При обнаружении годного изделия сдвигаемся из точки (k,d) в точку (k+1,d). При обнаружении дефектного изделия сдвигаемся из точки (k,d) в точку (k,d+1). В результате контроля n изделий достигается точка (k_n ,d_n)

Точку (k,d) называют достижимой, если из начала координат в ней существует путь. Эту точку называют проходимой, если существует путь, для которого она не является последней. Достижимую точку, не являющуюся проходимой, называют граничной точкой. Граничные точки образуют границы. При достижении границы испытания прекращают.

Рис. 2.5. Последовательные испытания изделий на надежность

Пример. Верхняя часть границы  плана испытаний определяется ближайшими точками (k,d), лежащими не ниже прямой  (рис.2.5). Нижняя часть границы  определяется точками (k,d) ближайшими к прямой , но лежащими ниже этой прямой. Последовательный план испытаний с границей  называют планом Вальда. Здесь