Свойства Z-преобразования
ЛЕКЦИЯ № 3
СВОЙСТВА Z- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
План лекции:
1.Свойства линейности.
2.Смещение аргумента решетчатой функции.
3.Изображение разностей.
4.Свертка оригиналов.
5.Начальное и конечное значения решетчатой функции.
При использовании Z-преобразования важную роль играют теоремы, устанавливающие связь между операциями с оригиналами и изображениями. Приведем формулировки основных теорем:
Рекомендуемые материалы
Теорема 1 Линейность Z-преобразования.
Z
.
Теорема 2 Смещение аргумента решетчатой функции.
(теорема о запаздывании, упреждении.)
-запаздывание на 
-тактов.
-упреждение на -тактов.
Рассмотрим преобразование:
Z
.
Введем обозначение: 
, тогда:
если значение решетчатой функции равно 0 при отрицательных значениях аргумента, то:
Z
.
Аналогично для случая упреждения:
.
Теорема 3 Изображение разностей.
Первая обратная разность:
На основании предыдущей теоремы:
Для обратной разности m-ого порядка:
Для прямой разности:
Последнее выражение записано в предположении, что
.
Теорема 4 
преобразование произведения изображений непрерывной и решетчатой функции.
Теорема 5 Конечное значение решетчатой функции.
Предварительно определим сумму ординат решетчатой функции:
Положим 
, отсюда: 
Далее, учитывая, что
,
найдем сумму ординат решетчатой функции:
с другой стороны:
Приравнивая правые части уравнений получим:
.
Теорема 6 Начальное значение решетчатой функции.
Напомним, что первая прямая разность определяется выражением:
.
Тогда:
Рассмотрим теперь предел выражения:
Приведенные зависимости являются аналогами для нахождения конечного и начального значений непрерывной функции 
по ее изображению Лапласа:
Теорема 7 Свертка решетчатой функции.
Наряду с прямым дискретным преобразование при анализе цифровых систем управления широкое применение находит и обратное дискретное преобразование Лапласа определяемое формулой:
, (3.1)
где 
-абсцисса абсолютной сходимости оригинала 
.
Замена 
преобразует отрезок интегрирования в плоскости “P” в окружность 
плоскости “Z”. При этом выражение (3.1) трансформируется в формулу обращения Z-преобразования:
(3.2)
где: 
.
Пояснения:
Выражения (3.1), (3.2) достаточно сложные и непосредственно применяются редко, т.к. существуют более простые способы вычисления решетчатых функций.
Применяя для вычисления контурного интеграла (3.2) теорию вычетов, получим:
(3.3)
где 
-особые точки подынтегрального выражения. Обычно F(z)-дробно-рациональная функция, и тогда выражение (3.3) может быть доведено до конечных зависимостей:
; 
; 
.
Обратное Z-преобразование можно вычислять также и методом степенных рядов. Запишем формулу Z-преобразования в виде:
Тогда вычисление обратного Z-преобразования сводится к определению коэффициентов разложения F(z) в ряд Лорана.
Пример: Задано
, найти образующую решетчатую функцию.
 |
Решение получим делением многочлена на многочлен:
Ещё посмотрите лекцию "Условия для взрыва газа" по этой теме.
Таким образом, 
; и, соответственно,
Другой вариант решения заключается в применении теории вычетов:
Преимущество метода степенных рядов заключается в том, что при этом не требуется находить полюса F(z). Если F(z)-дробно-рациональная функция, то значения 
находятся делением полинома числителя на полином знаменателя.(см. пример).
Недостаток метода состоит в том, что вычисления ведутся по рекуррентной процедуре. Кроме того, алгоритм деления многочлена при реализации на ЭВМ может приводить к накоплению вычислительных ошибок.
