Круглый цилиндрический резервуар с водой
Круглый цилиндрический резервуар с водой
Рассмотрим расчет цилиндрического круглого бака с водой, осесимметричный случай.
Бак расположен так, что ось вращения вертикальна, ось x направления вниз, верхнему торцу отвечает значение x = 0, нижнему x = l. Радиус бака R.
Компоненты нагрузки
Граничные условия для случая, когда верхний торец свободен, а нижний закреплен:
Используем систему координат , так что
Рекомендуемые материалы
По соотношениям безмоментной теории получим выражения для усилий
Определяя затем деформации и далее с учетом граничных условий перемещения, получим
Если обратить внимание на закон изменения w, то получается, что цилиндр переходит в усеченный конус.
Это решение по безмоментной теории не может быть правильным всюду – в зоне закрепления днища, в частности, возникнет краевой эффект. Для определения НДС в зоне краевого эффекта необходимо сформулировать граничные условия. Пусть при x = l эти условия отвечают жесткой заделке:
Этим граничным условиям должно удовлетворять решение, представляющее собой сумму безмоментного решения с краевым эффектом.
Для рассматриваемого случая уравнение краевого эффекта принимает вид
Общий интеграл этого уравнения
В нашем случае физический смысл имеет решение, включающее в себя первое слагаемое (поскольку нас интересует НДС оболочки в зоне x = l при x < l).
Суммируя это слагаемое с безмоментным решением, получаем
Подчиним это решение граничным условиям при x = l, тогда
Окончательно решение имеет вид
Вам также может быть полезна лекция "Основные физические свойства воды, снега и льда".
После определения w можно найти искривление, моменты, перерезывающие силы, усилия – последние по существу получают поправки по сравнению с безмоментным решением.
На рисунке схематически показаны закономерности изменения моментов и усилий в оболочке. По сравнению с безмоментным решением наиболее заметные изменения наблюдаются в зоне краевого эффекта, в окрестности x = l. Поправки быстро затухают по мере удаления от этого торца оболочки.
Скорость затухания можно определить по отношению амплитуд значений соответствующих величин в соседних экстремумах. Поскольку речь идет о функциях sin, cos, имеющих полупериод π, то, например, для двух соседних амплитуд прогибов можно построить отношение
Отсюда видно, что затухание идет достаточно быстро.