Безмоментная теория оболочек
Безмоментная теория оболочек
Когда можно считать, что вкладом изгибающих и крутящих моментов в НДС оболочки можно пренебречь по сравнению с вкладом усилий, в уравнениях равновесия соответствующие слагаемые можно опустить.
В общем случае НДС оболочки можно разделить на две составляющих – мембранное и моментное.
Первое характеризуется тем, что в напряжения основной вклад вносят усилия, а моменты пренебрежимо малы в силу, как правило, очень малой толщины оболочки. В этом случае цилиндрическая жесткость настолько мала, что даже при изгибаниях моментами модно пренебречь. Кроме того, такой вид НДС реализуется в так называемых мягких оболочках, когда материал не сопротивляется изгибу и работает только на растяжение – например, ткань парашюта, надувная емкость из ткани и т.п.
Моментное НДС характеризуется тем, что решающий вклад в напряжения вносят именно моменты. Наиболее выраженным моментным состоянием является краевой эффект.
Краевой эффект – быстро меняющееся и затухающее по мере удаления от линии искажения НДС.
Линии искажения – общее название для случаев:
- край оболочки;
- подкрепляющее ребро или ослабляющий надрез;
Рекомендуемые материалы
- линия, где скачком меняется толщина;
- линия, где скачком меняется нагрузка;
- линия, где скачком меняется кривизна;
- линия, где скачком меняются две или более из указанных величин.
По этой причине НДС оболочки часто получают как сумму двух состояний – безмоментного НДС и краевого эффекта.
Возникает вопрос, как оценить вклад усилий и моментов в суммарное НДС. Просто сравнивать усилия и моменты нельзя хотя бы по той причине, что это параметры с разной размерностью. Сравнение можно делать лишь путем сопоставления вклада усилий и моментов в напряжения.
В простейшем случае на основе гипотезы прямых нормалей можно считать, что
тогда можно считать, что и напряжения меняются по некоторому линейному закону
Если с учетом этого получить выражения усилий и моментов, то
Суммарные напряжения выражаются следующим образом
Имея ввиду, что второе слагаемое в этих напряжениях – от момента – имеет максимальные значения при оценивать вклад в напряжения от усилий и моментов нужно сопоставлением величин и
При равенстве моментов нулю исчезают и перерезывающие силы. Оставшиеся три уравнения равновесия приводятся к виду
В этих трех уравнениях равновесия только три неизвестных величины – усилия Поэтому формально система замкнута и ее можно решать и определять усилия.
После определения значений усилий можно получить деформации. Строго говоря, эти деформации должны удовлетворять условиям совместности. Если подчинить деформации этим условиям, сложность решения резко возрастает. Поэтому на практике принимается, что эти условия можно не учитывать. Анализ показывает, что возможная погрешность будет тем больше, чем сильнее нарушены условия безмоментности.
После определения деформаций из геометрических соотношений отыскиваются перемещения. Для этого необходимо решить систему дифференциальных уравнений
Решение этой системы неоднородных дифференциальных уравнений необходимо искать в виде суммы общего решения соответствующей однородной системы и частного решения исходной системы:
Общее решение, отвечающее нулевым правым частям этой системы, большого интереса не представляет, т.к. в этом случае все деформации нулевые, а получаемые перемещения отвечают движению оболочки как твердого тела, без деформирования.
Для отыскания частного решения необходимо сформулировать граничные условия – как и при любом интегрировании, нужны условия для определения постоянных интегрирования.
Система уравнений равновесия имеет второй порядок по каждому из направлений, поэтому для определения постоянных интегрирования в каждой точке контура нужно поставить по одному условию в усилиях.
После определения деформаций (по алгебраическим соотношениям – здесь граничные условия не требуются) определение перемещений требует постановки условий для перемещений в каждой точке контура – по одному условию. Необходимо иметь в виду, что для безмоментных оболочек нельзя ставить граничные условия, запрещающие прогибы, когда речь идет о граничных условиях в перемещениях – если запретить прогибы, в окрестности границы будут возникать моменты. По тем же соображениям нельзя ставить граничные условия в силовых параметрах
Условия применимости безмоментной теории оболочек
1. Форма оболочки характеризуется плавностью срединной поверхности, отсутствием ребер и скачкообразных изменений толщины.
2. Закрепление оболочки на контуре не должно ограничивать прогибы и их производные. В направлении срединной поверхности закрепление должно исключать смещение оболочки как жесткого целого.
3. Нагрузка должна в области приложения меняться плавно, без скачков, и не должна включать в себя изгибающие или крутящие моменты и перерезывающие силы.
В целом эти требования означают, что в оболочке не должно быть линий искажения. В окрестности каждой из линий искажения будет возникать т.н. краевой эффект, и лишь на некотором удалении от линии искажения можно считать НДС безмоментным.
При наличии линий искажения безмоментная теория применима при условиях:
1. Линии искажения не образуют густую сетку, т.е. краевые эффекты от соседних линий не должны накладываться друг на друга.
2. Линии искажения не должны касаться т.н. асимптотических линий, т.е. таких, кривизна которых равна нулю (например, для цилиндра и конуса это прямые вдоль образующих).
Этапы расчета оболочки по безмоментной теории
1. Определяются усилия из уравнений равновесия.
2. Определяются деформации из физических соотношений.
3. Определяются перемещения.
Формально на этом можно поставить точку. Однако остается открытым вопрос о точности полученного решения. Поэтому есть рекомендации (А.Л. Гольденвейзер) для контроля точности выполнить еще три этапа:
1. Определить искривления через деформации.
2. Рассчитать моменты через искривления.
3. Определить перерезывающие силы.
4. Сопоставить вклад напряжений от моментов и усилий в общее НДС.
Пример 1
Расчет цилиндрической оболочки при осевом сжатии, осесимметричный случай.
Пусть цилиндрическая оболочка длиной l, радиусом R и толщиной h подвержена действию осевой сжимающей силы Р, равномерно распределенной по торцу x = 0. Торец оболочки x = l опирается на неподвижную плоскость.
Для заданного способа нагружения q1 = q2 = qz = 0, N12 = 0.
Принимаем систему координат в срединной поверхности – вдоль направляющей ось x и вдоль окружности ось y. В силу осевой симметрии второе из уравнений равновесия исчезает, а из первого уравнения, которое принимает вид
следует N1 = const = C. Постоянная С определяется из условия на границе:
При x = 0 N1 × 2 ×π × R = P, и тогда С = Р/(2 ×π × R).
Из последнего уравнения равновесия в силу равенств R1 = ∞, R2 = R следует N2 = 0. Таким образом, все усилия определились:
После этого деформации определяются из физических соотношений:
Перемещения отыскиваются из геометрических соотношений
Последнее равенство следует из осевой симметрии.
В итоге
Постоянная интегрирования С определяется из условия нулевого смещения на опертом торце: при x = l необходимо u = 0, тогда
Окончательно все перемещения
На этом заканчивается решение – по схеме это первые три этапа.
Следующие, поверочные этапы, в этой задаче можно не выполнять по той причине, что полученные перемещения либо постоянны (u и w), либо представляют собой линейные функции (u) координат. Поскольку искривления определяются как вторые производные от перемещений, то в нашем случае они автоматически будут нулевыми. Тогда и моменты равны нулю, и вклад их в НДС будет нулевым. Это пример расчета безмоментной оболочки с нулевыми погрешностями в рамках сделанной постановки.
Пример 2
Расчет цилиндрической оболочки при постоянном внутреннем давлении, осесимметричный случай.
Геометрия оболочки описывается теми же параметрами, что и в предыдущем примере. Составляющие внешней нагрузки будут
Из соображений симметрии следует N12 = 0, и второе из уравнений равновесия выполняется тождественно. Первое и третье принимают вид
Отсюда определяются все усилия:
Постоянная С определяется из граничных условий. Например, при свободных торцах С = 0, в других случаях эта постоянная определяется из конкретных условий. Пока используем эту величину в общем виде. Деформации определяются из физических соотношений:
Если оболочка зажата между двумя жесткими основаниями, то необходимо е1 = 0, и тогда С = νPR = νN2.
Если днища оболочки не закреплены в осевом направлении, а подвержены внутреннему давлению, как и боковые стенки, то суммарное давление внутреннее уравновешивается осевыми усилиями:
В этом случае постоянная определяется как С = PR/2.
Для конкретности примем последний вариант. Тогда усилия и деформации будут
Если использовать граничное условие u = 0 при x = 0, то перемещения определяются выражениями
Формально решение получено точное, но практически реализовать такую форму деформирования «бочки», когда по всей ее длине прогибы постоянны, невозможно. Три обязательных этапа выполнены, оставшиеся вновь необязательны.
Пример 3
Сферическая оболочка при внутреннем давлении, случай точечной (сферической) симметрии.
Геометрия оболочки задается ее радиусом R и толщиной h.
В силу симметрии N12 = 0, N1 = N2.
Из третьего уравнения равновесия, которое принимает вид получаются ненулевые усилия, и в итоге
Бесплатная лекция: "Казахстан в годы реакции и нового революционного подъёма" также доступна.
После этот определяются деформации:
И далее перемещения
Остальные этапы расчета необязательны.