Простой краевой эффект
Простой краевой эффект
Простой краевой эффект – быстро меняющееся и затухающее по мере удаления от линии искажения НДС. Удаление, на котором происходит такое затухание, обычно составляет несколько толщин оболочки. Если линия искажения касается асимптотической линии, краевой эффект носит другой характер и носит название обобщенного. Этот случай далее не рассматривается.
В простом краевом эффекте различна роль разных моментов, усилий, деформаций, искривлений. Часть из них в этой зоне – зоне краевого эффекта – играет определяющую роль, другие пренебрежимо малы. В целом краевой эффект можно характеризовать как НДС с ярко выраженным изгибным харакутером. Анализ состояния оболочки показывает, что все параметры НДС можно разделить на две группы в соответствии с таблицей:
Главные величины | Второстепенные | Примечания |
N2 | N1, N12 | |
Рекомендуемые материалыИсследование полупроводников с помощью эффекта Холла Фотоэффект и определение постоянной Планка (на установке с интерференционными фильтрами) FREE Эффект Холла FREE Эффект Холла -53% Экспериментальная проверка уравнений Эйнштейна для фотоэффекта и определение постоянной Планка с помощью спектрометра с дифракционной решеткой Фотоэффект и определение постоянной Планка (на установке с интерференционными фильтрами) M1 | M2 = νM1, M12 | |
Q1 | Q2 | |
κ1 | κ2, χ | |
e2 | e1 = -νe2, γ | |
w | u, v |
В основе анализа краевого эффекта лежат уравнения полной (моментной) теории оболочек.
Из уравнений равновесия в соответствии с ранжированием параметров НДС (см. таблицу) принимаем во внимание только третье и пятое, причем после упрощений они принимают вид
(1)
Из геометрических соотношений также примем во внимание только те, которые касаются главных величин, и после упрощений они будут:
(2)
Главные силовые факторы с учетом соотношения e1 = -νe2 после упрощений будут:
(3)
В итоге исходная система (19 уравнений) свелась к 7 уравнениям, и эти уравнения содержат 7 неизвестных (6 главных в соответствии с таблицей и еще момент М2 , связанный с М1): N2, M1, M2, Q1, e2, w, κ1.
Вся эта система может быть сведена к одному уравнению. Для этого из второго уравнения равновесия (1) нужно выразить перерезывающую силу Q1 и подставить в первое. Далее в этом уравнении заменим силовые величины их выражениями по (3), и потом используем (2). В итоге получится единственное уравнение равновесия
(4)
Далее упрощения основаны на том, что по определению краевой эффект – быстроменяющееся НДС. Это означает, что параметры, характерные для него, при дифференцировании возрастают по сравнению с исходной функцией. После раскрытия скобок в первом слагаемом получатся слагаемые, где будут производные четвертой степени и ниже. Из этих слагаемых удержим только эту четвертую степень, пренебрегая остальными. Тогда уравнение (4) примет вид
(5)
Если отсюда определить w, то далее находятся все величины – деформации, искривления, усилия и моменты.
При получении уравнения (5) считалось, что величины А1 и А2 не зависят от координаты ξ. Будем считать, что при интегрировании этого уравнения коэффициенты уравнения также не зависят от этой координаты, но могут в общем случае зависеть от координаты η. Тогда решение можно искать в виде
Подставляя это в (5), получаем характеристическое уравнение
(6)
Если обозначим
(7)
то (6) можно переписать в виде
Извлекая корень, получим
Четыре различных корня получаются при n = 0, 1, 2, 3:
Если в (7) вместо параметров A1, R примем их некоторые средние значения, то с учетом обозначений
общий интеграл уравнения (6) можно записать в виде
(8)
В этом выражении необходимо – из физических соображений – удерживать разные слагаемые по разные стороны от линии искажения ξ0. Так, при ξ < ξ0 используются первое и четвертое слагаемые, а при ξ > ξ0 - второе и третье. Тогда решение в силу знака в вещественной части показателя экспоненты будет затухать по мере удаления от линии искажения, как это и должно быть при описании краевого эффекта.
Рекомендация для Вас - Роль культурных различий между людьми.
Учтем, что существует представление
Тогда два решения – по разные стороны от линии искажения – можно переписать в виде
(9)
Постоянные D1(η),…,D4(η) определяются из граничных условий.
Решение уравнения краевого эффекта представляет собой осциллирующие функции, затухающее по мере удаления от линии искажения по экспоненте. Скорость этого затухания определяется показателем экспоненты в (9). Чем больше расстояние от линии искажения, тем больше затухание. Множитель kg пропорционален величинеесли пренебречь влиянием коэффициента Пуассона.