Обобщённая статистическая модель технологического процесса

2020-06-032021-03-09zzyxelСтудИзба

2 Обобщённая статистическая модель технологического процесса

2.1 Управляемость процесса.

Любой процесс изготовления продукции характеризуется технологической возможностью производства. Под технологической возможностью производства понимается не только и не столько привычная и понятная всем количественная сторона – производительность, но и его качественная сторона, представленная чаще всего в виде среднего значения группового показателя качества и его дисперсии. Причём среднее и дисперсия вполне характеризуют как измеримые признаки качества, так и неизмеримые – качественные (альтернативные).

В самом деле, если групповым показателем качества является уровень несоответствий конечной совокупности (партии) изделий, выраженный в виде абсолютного значения несоответствующих изделий в ней или доли несоответствующих изделий в партии (или числа несоответствий на 100 единиц продукции), то для любого показателя качества его групповой аналог всегда можно представить в виде распределения, соответствующего (по крайней мере асимптотически, при n ® ¥) нормальному закону. Чтобы показать это, предположим, что в результате опробования технологического процесса (или отдельной операции) получено m пробных партий. Тогда в результате выборочного контроля этих партий можно получить оценку среднего значения несоответствующих изделий в каждой партии (см., например, / /):

, (2.1)

где d_i – число несоответствий в i-ой партии;

N_i и n_i соответственно объем пробной партии и объем выборки из нее, используемые для оценки .

Несмещенная оценка дисперсии будет равна / /:

(2.2)

Согласно Центральной предельной теореме асимптотически нормальное при N ® ¥ и (или) m ® ¥ (где N = ) приближение для обобщенного группового показателя качества можно получить, приняв в качестве параметров распределения этого показателя значения:

2.2 Математическая интерпретация несоответствий в виде распределений.

Будем рассматривать технологический процесс, для которого выполняется, по крайней мере, первое условие управляемости, т.е. выполняются физические условия Центральной предельной теоремы. Тогда обобщенный признак качества будет иметь асимптотически нормальное распределение с параметрами (m;s). Пусть а и b – предельно допустимые значения количественного (измеримого) признака качества y (изделие годное, если а < y_i < b). Уровень несоответствий будет равен (см. рисунок 2.1):

(2.7)

где Ф₁ = – уровень несоответствий, равный площади левого «хвоста» распределения, т.е. доля изделий, значения признака качества которых меньше а (у_i< a);

– уровень несоответствий, Рисунок 2.1 равный площади правого «хвоста» распределения, т.е. доля изделий со значениями (у_i> b);

Ф(…) – функция стандартного нормального распределения.

При этом минимальный уровень несоответствий будет в случае, если математическое ожидание признаков качества на выходе процесса совпадёт с серединой допуска (покажите почему?):

(2.8)

На рис. 2.1 представлен идеальный случай. На самом деле, даже в случае абсолютной управляемости технологического процесса (выполнения всех трех условий управляемости перечисленных в предыдущем подразделе) возможно три случая отклонения от идеальности:

m=var; s=const (см. рисунок 2.2);

m=const; s_p>s (см. рисунок 2.3);

m=var; s=var (см. рисунок 2.4).

На рисунке 2.5 для наглядности приведены все три случая в виде развития отклонений от идеальности во времени. На практике чаще всего реализуется первый случай отклонения протекания технологического процесса от идеального, т.к. дисперсия более устойчивая в статистическом смысле характеристика, чем среднее значение.

Рисунок 2.2 Рисунок 2.3

Действительно, предположим, что на случайную характеристику y с какого-то момента времени накладывается тренд d(t) в виде неслучайной функции от времени t. Тогда очевидно, что среднее значение характеристики m_y начнёт меняться:

Рисунок 2.4 m_y = y_cp + d(t).

Дисперсия как сумма дисперсии s_y²и дисперсии неслучайной величины d(t) останется неизменной, поскольку s_d²= 0. Хотя третий случай (m=var; s=var) нельзя исключать и, вообще говоря, стабильность дисперсии, как и стабильность среднего, следует отслеживать. (Например, тренд d(t) может иметь случайную природу и, следовательно, вносить свою долю в общую дисперсию процесса).

Очевидно, что во всех трех случаях уровень несоответствий будет больше q_min и меняться от партии к партии. Следовательно, чтобы оценить уровень несоответствий в каждой конкретной партии (например, в ходе приемочного контроля выборочными методами) необходимо получить оценки среднего значения и дисперсии признаков качества и рассчитать q, например, по (2.7). При этом оценки могут быть точечными и интервальными, но в любом случае значение уровня несоответствий q должно определяться с гарантией, т.е. должен обеспечиваться заданный уровень доверия[1]. На практике процедуру выборочного контроля формулируют в виде проверки статистической гипотезы, что автоматически

Рис. 2.5

предполагает задание одного из рисков (I-го или II-го рода) с минимизацией другого и получение функции мощности критерия или оперативной характеристики.

2.3 Распределения, применяемые при статистическом контроле качества.

В курсе «Теории вероятностей и математической статистики» достаточно подробно рассматриваются различные виды распределений как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Дискретные распределения моделируют так называемые бинарные события, т.е. события, относительно которых можно сделать заключение о том, что оно имело место или его не было. Такие события называют также альтернативными. Например, при контроле качества в виде наличия раковин или цветов побежалости на поверхности, размеры которых не имеют значения, случайным бинарным событием является только сам факт их наличия или отсутствия. Непрерывные распределения описывают измеримые характеристики носителей качества, которые называются «количественными признаками » и могут принимать любое числовое значение в некотором ограниченном или неограниченном интервале допустимых значений.

При использовании математической статистики в системах контроля и управления процессами следует различать проблемы, связанные с распределением контрольных характеристик на выходе процесса, от проблемы моделирования методов контроля. Когда речь идёт о распределении признаков качества и несоответствий в партиях, то имеют в виду анализ результата работы технологического процесса производства как генератора случайных чисел – показателей качества продукции. При моделировании (статистическом описании) процедур контроля речь идёт о математическом представлении способов получения и обработки информации о характеристиках уже изготовленной продукции, об адекватности и точности контроля как самостоятельного процесса, на выходе которого должны быть сформированы надёжные управляющие решения. Поэтому говорить, например, о распределении какого-то признака качества по гипергеометрическому закону не совсем корректно. Гипергеометрический закон распределения определяет количество несоответствующих изделий, попадающих в выборку, вообще говоря, при любом законе распределения несоответствий в партии, но при условии формирования выборки по правилу «без возвращения» и анализе в ходе контроля только бинарного отношения: «годен – негоден». Гипергеометрическое распределение изначально предполагает процесс взятия выборки, т.е. выполнение процедуры контроля.

Сложнее с биноминальным распределением. Биноминальный закон распределения может описывать выход технологического процесса производства, когда каждое изделие с одинаковой вероятностью может быть как годным, так и негодным. Кроме того, сама процедура выборочного контроля, когда выборка берётся «с возвращением» и анализируется бинарное отношение «годен – негоден», – тоже описывается с помощью биноминального распределения.

Распределение Пуассона может описывать только распределение несоответствий на выходе процесса производства. Использование этого распределения для обработки результатов выборочного контроля делается исключительно с целью упрощения математически сложных формул гипергеометрической и биноминальной моделей процедур контроля.

Нормальный закон распределения может использоваться для упрощения обработки результатов контроля альтернативных признаков качества и описывать закон распределения количественных показателей качества на выходе производственного процесса как генератора непрерывных случайных величин.

2.3.1 Гипергеометрическое распределение.

Наиболее полной и точной моделью, отражающей методику контроля качества для любых бинарных распределений, является следующая:

Предположим, имеется ящик с конечным числом N шаров, D из которых белые, а остальные N - D – черные. Очевидно, что, если изъять из ящика n шаров, т.е. сделать выборку объема n и посчитать количество белых шаров, оказавшихся в выборке, то это количество белых шаров будет зависеть от общего числа шаров в ящике N, числа белых шаров в ящике D и объема выборки. Чтобы выразить это математически, определим вероятность того, что в выборке объема n будет d =1, 2, 3, ..., k белых шаров. Из комбинаторики известно, что из всех возможных выборок объема n из общей совокупности объема N можно составить всего С_Nⁿ сочетаний:

, (2.9)

где С_Nⁿ – число возможных наборов по n элементов из множества в N элементов, в которых не учитывается последовательность элементов. С другой стороны каждая такая выборка может содержать С_Dⁿ раз k белых шаров и каждый раз сочетаться с случаями, когда остальные шары в каждой выборке будут черными. Следовательно, исходя из классического определения вероятности, получим условное распределение вида:

H(k|N; D; n)=hy(i|N; D; n), (2.10)

где = hy(i|N; D; n)

где знак «| » означает «при условии». (В формуле (2.10) автоматически учтено, что в выборку не может попасть более n или более D, белых шаров).

Важно отметить, что формула (2.10) описывает одновременно вероятность того, что если в выборке из n шаров обнаружено k белых шаров, то в ящике с N шарами содержится D белых, т.е. Р(D|N; n; k) эквивалентна вероятности Р(k| N; D; n).

Распределение (2.10) называется гипергеометрическим. Функция этого распределения записывается в виде:

Hy(k|N; D; n)=P(d<k| N; D; n)= (2.11)

Можно показать, что для гипергеометрического распределения математическое ожидание равно:

M[k = d] = nP, (2.12)

где Р = D/N – доля белых шаров в ящике.

Дисперсия гипергеометрического распределения равна:

, (2.13)

где Q = 1 – P – доля черных шаров в ящике.

Таким образом, гипергеометрическое распределение является четырёхпараметрическим и кроме значения k определяется параметрами N; D и n. Распределение (2.11) с учётом того, что объём партии может достигать нескольких тысяч единиц продукции, является достаточно сложным для расчета даже при использовании современной вычислительной техники.

2.3.2 Биномиальное распределение

Гипергеометрическое распределение описывает случай изъятия выборки без возвращения. При этом вероятность вынуть в первой попытке белый шар равна D/N, вероятность второго белого шара будет равна (D-1)/(N-1), если первый шар был белый, и равна D/(N-1), если первый шар был черный.

Таким образом, вероятность того, что второй шар будет белым по формуле полной вероятности равна:

Аналогично можно показать, что на любом шаге вероятность вытащить белый шар равна D/N, несмотря на то, что эта вероятность, вообще говоря, зависит от того, какие шары вытаскивались на предыдущих шагах.

В случае если после каждого шага изъятия случайным образом шара, он будет возвращаться обратно в ящик, очевидно, что вероятность вытащить на i – м шаге белый шар всегда будет равна D/N независимо от того, какого цвета шары извлекались на предыдущих шагах.

Предположим, что делается выборка из n шаров как в случае рассмотрения гипергеометрического распределения, но каждый раз после выемки и определения цвета вынутого шара этот шар возвращается в ящик. Найдем вероятность того, что из n вынутых и возвращенных шаров число белых будет равно d. Т.е. найдем распределение белых шаров в выборке с возвращением. Поскольку в этом случае на каждом i – м шаге вероятность появления белого или черного шара независима, то вероятность вынуть белый шар k раз будет равна:

Р(k=d) = P^d (1-P)ⁿ^-^d = P^d Qⁿ^-^d.

Всего таких событий может быть равно числу сочетаний из n по k. Поэтому искомая вероятность равна:

P(k=d) = be(k=d|N; D; n) = (2.14)

Распределение (2.14) называется распределением Бернулли и, вообще говоря, связывает только три параметра: d; n и P = D/N (значения D и N входят в это распределение в отличие от гипергеометрического распределения в виде отношения, т.е. одного параметра Р). Соответственно, функция распределения Бернулли будет равна:

Ве(d < k|P; n) = (2.15)

Естественно, эта вероятность эквивалентна вероятности того, что в ящике доля белых шаров равна Р, если в выборке с возвращением объема n встретилось d белых шаров. Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения будут равны:

M[k=d] = n P (2.16)

σ_В² = n·P·Q (2.17)

Следовательно, при использовании схемы испытаний с возвращением получается более простое выражение для оценки доли белых шаров в ящике, чем в модели без возвращения, которая описывается гипергеометрическим законом распределения, но следует учитывать, что в случае распределения Бернулли точность модели будет меньше, чем для гипергеометрического распределения, поскольку σ_H² меньше, чем σ_В², в (N-n)/(N-1) раз.

2.3.3 Распределение Пуассона

Рассмотрим поток событий, т.е. последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Любой производственный процесс можно, в принципе, рассматривать как поток. Например, по конвейеру «течёт» поток изделий, в котором в случайные моменты времени попадаются несоответствующие изделия. В производстве тканей удобно под потоком рассматривать множество натянутых параллельных нитей. При этом случайным событием является обрыв одной из нитей. Тогда независимой переменной потока является геометрическая переменная, связанная с номером нити.

Поток событий называется простым или Пуассоновским, если он подчиняется трем условиям одновременно:

1) условию стационарности: вероятность наступления события в малом отрезке времени Δt пропорциональна величине этого интервала с точностью до бесконечно малой более высокого порядка:

P(d=1) ≈ c·Δt + O(Δt),

где O(Δt) – бесконечно малая величина порядка (Δt)²;

с – некоторая константа.

2) условию ординарности: вероятность наступления в интервале Δt более одного события стремится к нулю быстрее, чем Δt:

;

3) условию отсутствия последействия: частоты появления событий в непересекающихся интервалах времени независимы, т.е. появление k событий в I -ом интервале Δt_i не зависит от того, с какой частотой появлялись события в предшествующие моменты времени.

Эти условия достаточно жесткие и редко, когда удается строго показать, что они выполняются для реального процесса. Обычно легче показать какое условие не выполняется и при моделировании рассматриваемого процесса потоком Пуассона обязательно оговорить невыполнение этого условия или изменить модельные условия, чтобы сгладить отступление от строгого выполнения всех вышеприведённых условий. Например, для одного станка появление несоответствующего размера детали зависит от износа инструмента и, следовательно, частота появления этого события не будет пропорциональна интервалу времени (будет расти с ростом износа инструмента). Однако, если рассматривать несколько станков со случайными (равномерными) моментами смены инструментов, то применимость простейшего потока для описания появления несоответствий будет вполне оправданной. Применима эта модель и, если под моментами времени Δt полагать интервалы между сменами инструмента. Чаще всего распределение, связанное с простейшим потоком используется как упрощение более точных моделей, описываемых гипергеометрическим или биномиальным распределением.

Распределение, моделирующее простейший поток, подчиняется распределению Пуассона:

Р(d=k) = р₀(d=k|λ)= (2.18)

Это распределение имеет функцию распределения:

P₀(d<k| λ) = (2.19)

При этом единственный параметр этого распределения равен:

λ = n·P

Математическое ожидание и дисперсия этого распределения равны параметру λ:

M[d] = λ = n·P (2.20)

σ_р² = λ = n·P (2.21)

2.3.4 Аппроксимация гипергеометрического распределения.

Сравнивая разброс рассмотренных выше дискретных распределений бинарных случайных величин, легко установить:

. (2.22)

Следовательно, упрощение модели выборочного контроля партии, т.е. переход от гипергеометрической модели к модели распределения Бернулли или Пуассона, неизбежно приводит к росту разброса, т.е. росту дисперсии. Иначе говоря, упрощение модели сопровождается снижением точности результатов моделирования. Наиболее точное гипергеометрическое распределение из-за необходимости учета четырех параметров является наиболее сложным для расчёта и табулирования, т.е. представления в табличном виде. Более простое для табулирования распределение Бернулли достаточно часто встречается в виде таблиц в различных справочниках. Распределение Пуассона в табличном виде представлено практически в каждом справочнике. В настоящее время с развитием программируемых вычислительных средств вопрос о табулировании перестает быть актуальным.

В некоторых книгах по теории вероятности и математической статистики приводятся различные иногда не совсем корректные условия аппроксимации гипергеометрического распределения распределением Бернулли и Пуассона. Ниже приводятся наиболее корректные условия перехода от гипергеометрического распределения к более простым, без существенных потерь в точности:

1) hy(k|N; D; n) ≈ be(k|p; n) (2.23)

при 0,1<P<0,9: n>10 и n/N<0,1;

(В литературных источниках часто приводится только одно условие: n/N<0,1, однако, основываясь только на этом условии, не принимая другие два условия можно допустить ошибку более 10 %);

2) hy(k|N; D; n) ≈ P₀(k|λ=np) (2.24)

при P < 0,1 или P > 0,9; n > 30; n/N < 0,1.

3) при n > 30, для P < D/N < 0,9 гипергеометрическое распределение можно аппроксимировать нормальным законом распределения с параметрами (np; nPQ(N‑n)/(N-1)) и с коррекцией на непрерывность:

hy(k|N; D; n) ≈ (2.25)

Hy(k|N; D; n) ≈ (2.26)

где, по прежнему, Р = D/N;

f(..) – функция плотности нормального распределения.

2.3.5 Нормальный закон распределения

Практически все системы контроля качества статистическими методами построены в предположении подчинения количественных показателей качества нормальному закону распределения. Нормальный закон распределения, его свойства и условия существования рассматривается практически во всех учебниках и книгах по теории вероятности и математической статистике.

Как уже было отмечено выше (см. п. 2.1), равномерно малый вклад каждого внешнего воздействия и каждой операции в общую дисперсию процесса является необходимым и достаточным условием (согласно Центральной предельной теореме) соответствия нормальному закону распределения показателя качества на выходе процесса. Но верно и обратное утверждение, т.е., если какой-либо признак качества не соответствует нормальному закону распределения, то это означает невыполнение условий Центральной предельной теоремы. Таким образом, сам факт отклонения распределения показателя от нормального закона «подсказывает», что имеется один или два (максимум три) фактора, которые являются определяющими по вкладу в общую дисперсию процесса. Эти факторы необходимо найти и устранить, по крайней мере, максимально снизить их влияние, с тем, чтобы рассматриваемый показатель качества был распределён по нормальному закону и можно было воспользоваться известной системой статистического контроля качества.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 2.3 Формулы комбинаторики.

Обратить внимание на 4 момента:

1) вероятность попасть в выборку любого негодного изделия равна D/N и не зависит от модели контроля, т.е. от того берётся выборка с возвращением или без возвращения;

2) упрощение модели контроля из-за использования для расчётов вместо гипергеометрического более «простых» распределений приводит к увеличению дисперсии в результатах контроля (см. (2.22) и, в конечном итоге – к увеличению вероятности принятия неверных решений;

3) соотношения n/N < 0,1 не достаточно для сохранения точности анализа при переходе от более сложных распределений к более простым (подробнее см. в тексте);

4) нормальность распределения количественного признака на выходе производственного процесса может служить одним из признаков стабильности процесса или управляемости этого процесса (по терминологии SPC / /).

[1] Любой статистический анализ в конечном итоге должен быть представлен в виде двух цифр: цифры предпочтения и цифры риска. Цифра предпочтения определяет принимаемое решение, а цифра риска – вероятность ошибочности принятого на основе цифры предпочтения решения.

Поделитесь ссылкой:

Популярные услуги