8 Контрольные карты и управление процессом

“Статистический контроль качества - это на 90% инженерное дело и на 10% - статистика”.

 H.F.Dodge

8.1 Сущность и цели контрольных карт

В этом разделе рассматривается самый популярный, очень эффективный и в то же время относительно простой инструмент управления качеством ­– контрольные карты (КК). С того времени, когда в 1924 году Вальтер Э. Шухарт разработал технику построения и применения КК, во всём мире издано множество книг по этой теме, предложено множество модификаций и трактовок КК и даже целых философских теорий. Сейчас в мире нет ни одной более или менее солидной и уважающей себя и своих потребителей фирмы или предприятия, на которых могли бы обойтись без КК, … кроме России. Существует даже медаль имени Шухарта, которой ежегодно награждается один из заслуженных специалистов в области обеспечения качества. А в России до сих пор не издано ни одного печатного труда Шухарта, хотя ни одна из книг по проблеме качества, в том числе и наших соотечественников, не обходится без упоминания о КК. Парадоксальность ситуации вокруг КК, сложившейся в нашей стране, заключается ещё и в том, что именно в России сочли КК одним из самых выдающихся достижений человечества в ХХ веке (см. ж. «МКК» №1,3 2003г).

            Чтобы спокойно разобраться в потоках информации, уметь отделять полезные сведения от псевдонаучных домыслов о КК необходимо вернуться к первым главам, где на примере промышленного производства рассмотрены общие вопросы управления технологическими процессами. Поскольку любой процесс можно моделировать в виде генератора случайных чисел – показателей качества, то, естественно выходные характеристики процесса будут зависеть от качества работы самого генератора и его составных частей, включая персонал, участвующий в работе процесса. Следовательно, состояние процесса, его управляемость, способность противостоять внешним и внутренним «помехам» и «шумам» определяет в целом качество его выходных характеристик. Чтобы управлять такой сложной системой как производственный процесс, необходима система диагностики, показывающая состояние механизма процесса-генератора. Эту диагностическую функцию как раз и выполняют КК, и вряд ли разумно требовать от КК ещё чего-либо большего.

            Каждый процесс наделён множеством свойств и характеристик, в том числе такими как производительность, безопасность, экологичность, энергоёмкость и тп. Как только удаётся эти характеристики выразить через числовые параметры, так сразу бросается в глаза такое общее свойство параметров как изменчивость или вариация. Оказывается, все параметры переменны во времени, даже при, казалось бы, постоянных условиях работы процесса. Эта изменчивость или вариация значений данного параметра друг относительно друга и есть показатель качества процесса относительно рассматриваемого параметра. Например, в военном деле издавна для отбора претендентов в команду снайперов применяется следующий приём. Каждому претенденту предлагается сделать серию выстрелов по мишени из одного и того же оружия. Отбор претендентов производится не по набранному количеству очков, а по «кучности» результатов стрельбы.  В соответствии с результатами испытаний по рис. 8.1 предпочтение будет отдано второму стрелку, хотя количество набранных очков у первого стрелка больше. Т.е. качество процесса стрельбы у второго претендента выше, чем у первого (при этом понятно, что, настройка центра разброса на центр мишени легко производится с помощью механизма прицела оружия).  Мишень на рис. 8.1 по сути дела представляет собой аналог контрольной карты процесса стрельбы. Решение о качестве стрельбы делается на основе анализа разброса результатов процесса, а не цели процесса: набрать максимальное количество очков. Хотя положение центра разброса и центра мишени, которое тоже отражает данная КК, будет учтено при корректировке прицела личного оружия второго стрелка.  Отсюда следует первое правило работы с КК – в первую очередь обращать внимание не на конкретные значения параметра, а на характер его изменчивости.

Для удобства отслеживания вариаций на КК технологических процессов наносят вспомогательные линии, параллельные линии центра разброса:         

Рекомендуемые материалы

где ВКГ и НКГ соответственно верхняя и нижняя контрольные (предельные) границы;

ВПГ и НПГ соответственно верхняя и нижняя предупредительные границы;

Х_ц – значение контролируемого параметра, соответствующее центру рассеивания, за который естественно принять математическое ожидание или его точечную оценку: среднее значение параметра в выборке;

k_i – неслучайный коэффициент, назначаемый (рассчитываемый) разработчиком КК в зависимости от вида и требуемых свойств КК;

 - стандартное отклонение параметра (корень квадратный из дисперсии D[X]), рассчитываемое по выборке, если истинное значение параметра неизвестно.

Следует подчеркнуть, что вариация, которую отражает КК, никак не связана с требованием к качеству продукции на выходе процесса. Эту связь устанавливают люди во время анализа КК, когда «накладывают» значения параметра на выходе процесса на требуемые с целью выработки управляющих по отношению к процессу решений. Конечно можно контрольные границы с помощью коэффициента k_i увязать с конструкторским допуском и таким образом получить так называемые «приёмочные» КК (см. ГОСТ Р 50779.43), но обычно в этом нет необходимости, поскольку более ценной в КК является информация о качестве процесса, а не продукции.

Второй момент, который следует учитывать при работе с КК, это два вида статистической изменчивости процесса. Первый вид изменчивости связан с разбросом значений контролируемого параметра относительно центра. Мерой этого вида изменчивости является дисперсия. Второй вид изменчивости называется «трендом» и представляет собой изменение во времени центра разброса. Как правило, тренд связан с появлением детерминированного (не случайного) воздействия на работу процесса (см. п. 2.2) и может иметь как линейную так и нелинейную форму проявления (довольно часто встречаются циклические формы проявления тренда). Поскольку естественный разброс процесса накладывается на тренд, то без «истории» развития процесса, т.е. без ведения КК его довольно трудно обнаружить.

Третий и, пожалуй, самый главный момент, связанный с применением КК в производстве это непосредственно сам акт управления процессом. Как было отмечено выше, сама КК является датчиком состояния процесса, причём «слепым» датчиком или по терминологии теории регулирования – сигнальным датчиком, который может только констатировать факт изменения в функционировании процесса, но не способен указать на причину изменения.  Поиск конкретной причины, выработка управляющего воздействия на процесс, реализация этого воздействия и, что самое важное - ответственность за правильность принятых действий, несёт лицо, принимающее решение. К сожалению, на наших предприятиях управляющее действие сводится, чаще всего, исключительно к мерам репрессивного характера: наказать персонал, который обеспечивал работу процесса в момент выхода контролируемого параметра за предельную границу. При этом совершаются по крайней мере две грубейшие ошибки, т.к. во-первых причина ухода процесса от нормального состояния могла быть «заложена» и во время работы предыдущих смен персонала, а во-вторых, даже, если это была действительно ошибка персонала, то прежде всего необходимо разобраться, почему была допущена эта ошибка и сделать всё, чтобы эта ошибка не повторялась (работа персонала это органическая часть функционирования процесса, ведь никому не придёт в голову наказывать заготовку из-за наличия в ней раковины, приведшей к поломке резца, накажут токаря и, возможно, его непосредственного начальника, хотя правильнее просто обеспечить должный входной контроль заготовок и направить рекламацию поставщику материала заготовки, наказывать токаря просто глупо и бессмысленно).

Таким образом, управление процессом с помощью КК сводится к трём обязательным процедурам:

1) выбор контрольного параметра и построение (расчёт) контрольных границ;

2) аккуратное и постоянное ведение КК;

3) анализ информации, поступающей от КК, выработка и реализация управляющих действий над процессом.

Очевидно, что статистика как вполне формализуемый на уровне конкретных рекомендаций и правил математический аппарат применяется только в первой процедуре. Естественно, статистика может и должна применяться и на третьей процедуре, но ввиду многообразия при специфичности (индивидуальности) каждого процесса формализовать правила выработки и реализации управляющих действий не представляется разумным и возможным. Главной, наиболее трудной и ответственной является третья процедура.

В технической литературе и в стандартах часто используется понятие «статистически управляемого (или неуправляемого) состояния» или «статистически подконтрольного состояния» процесса (см., например, ГОСТ Р 51814.3). Это выражение связано с тем, что, если все контролируемые по КК параметры процесса находятся в пределах контрольных границ, то процесс вполне «обходится» собственными ресурсами управления и не требует дополнительных управляющих воздействий. Более того, непродуманные и необоснованные воздействия на процесс, который находится в статистически управляемом состоянии, может привести к появлению статистической неустойчивости и к выходу контролируемых параметров за пределы контрольных границ или к появлению тренда. Не рекомендуется вмешиваться в процесс, если он находится в управляемом состоянии. С этим понятием тесно связано представление о КК как о способе проверки статистической гипотезы о состоянии процесса:

Н0: {процесс находится в статистически управляемом состоянии и, следовательно нет необходимости вмешиваться в его работу};

против альтернативной гипотезы:

Н1: {процесс вышел из статистически управляемого состояния и требует  вмешательства в его работу}.

Следовательно, КК можно исследовать на вероятность появления ошибки первого рода (вмешательство в процесс, когда этого не требуется) и второго рода (невмешательство в работу процесса, хотя это уже требуется). Обе эти ошибки связаны со статистической природой КК, которые могут и «обмануть», показывая точку за пределами контрольных границ, хотя процесс находится в нормальном  (управляемом) состоянии или наоборот не показывать изменений состояния в режиме работы процесса с отклонениями. При таком подходе вполне естественным будет построение кривой мощности или оперативной характеристики, построение контрольных и предупредительных границ, исходя из обеспечения заданных рисков и т.п. Этот подход к построению и анализу КК преобладает в Европе (в основном в немецкоязычных странах). В США и в Азии (например, в Японии) такой подход практически не используют. Действительно, КК, если к ним подходить со стороны теории вероятностей и математической статистики, не имеют (как правило) строгой научной обоснованности по следующим причинам:

1) нет возможности статистически обосновать объёмы выборок;

2) особенно трудно поддаётся обоснованию периодичность взятия выборок;

3) редко когда является строго обоснованным использование свойств нормального распределения.

Даже, если все эти положения можно теоретически обосновать, чаще всего это слишком дорого и экономически не оправдано. Поэтому расчёты, например, рисков первого и второго рода для КК перестают быть актуальными. В принципе, в отличие от, например, приёмочного контроля от КК особой математико-статистической строгости и не требуется. Эффективность КК заключается не в их статистической обеспеченности, а в их диагностической сущности и умении приложить поступающую от них информацию в чисто инжинерно-техническую плоскость: вовремя обнаружить, найти причину и разработать адекватные управленческие и инженерные решения. Исключение составляют приёмочные КК, для которых указанные выше положения должны быть рассмотрены более подробно с обеспечением необходимых затрат.

8.2 Виды контрольных карт

                С точки зрения теории вероятностей и математической статистики КК представляют собой графики временных рядов некоторого показателя Х с дополнительными вспомогательными линиями: контрольными и предупредительными границами. У всех карт осью абсцисс является время или заменяющая её характеристика, связанная с производственным циклом (например, номер выборки, дата, смена, канун или конец работы и т.п.). В качестве контролируемого параметра используется либо сам выходной параметр процесса Х, либо отражающая в полной мере его свойства достаточная статистика g(x)  (см. п. 3.3), основанная на выборке. Контрольные и предупредительные границы, построенные по дисперсии контролируемого параметра s_Х или по дисперсии соответствующей статистики s_g(x), являются обязательными атрибутами КК. Без контрольных границ графики временных рядов параметров нельзя называть КК.

Различаются КК прежде всего по применяемому контрольному параметру и по способу построения контрольных границ. Контролируемый параметр может быть количественным (измеримым) или альтернативным. При построении обычных КК принимают, что распределение контролируемого признака  подчиняется (по крайней мере асимптотически) нормальному закону и, следовательно, для построения контрольных границ можно использовать правило «3s». Согласно этому правилу коэффициент k в формуле (8.1) для контрольных границ принимается равным 3 и равным 2 для предупредительных границ. Для расчёта контрольных границ специальных КК, таких как приёмочные и карты «с памятью», в контрольных точках которых используется информация предыдущих выборок (KUSUM-карты и EWMA-карты), требуются более сложные приёмы вычислений границ.

8.3 Разладка процесса и критерии серий

Как уже было отмечено ранее, когда точка на контрольной карте, соответствующая выборочному значению контролируемой характеристики оказывается вне ограниченной контрольными переделами области, это дает основания предполагать, что производственный процесс разладился. Кроме того, необходимо отслеживать появление систематической тенденции в расположении точек на контрольной карте, так как наличие такой тенденции может служить свидетельством тренда контролируемого параметра процесса. Статистические процедуры, используемые для отслеживания тенденций в поведении процесса, называются критериями серий или непараметрическими критериями, поскольку их использование возможно при любом распределении параметра.

Как и контрольные пределы, выраженные в единицах сигмы, критерии серий имеют в своей основе "статистическое" обоснование. Так, например, вероятность того, что любое выборочное среднее значение для -карты окажется выше центральной линии, равна 0,5 при следующих условиях:

1) в исходном состоянии производственный процесс находится в статистически управляемом состоянии, т.е. центральная линия контролируемой характеристики на КК соответствует нормальной работе процесса и «выходов» точек за контрольные границы не наблюдается;

 2) средние значения следующих друг за другом выборок независимы.

При таких условиях для выборочного среднего значения шансы попасть выше или ниже центральной линии составляют 50 на 50. Поэтому вероятность того, что два следующих друг за другом выборочных средних окажутся выше центральной линии, будет равна 0.5, умноженному на 0.5 , т.е. 0.25.

Соответственно, вероятность того, что выборочные средние, например, девяти последующих выборок (или серия из последовательных 9 точек на контрольной карте) окажется с одной стороны от центральной линии, составит 0.5⁹ = .00195. Заметим, что это значение приблизительно равно вероятности того, что отдельное выборочное среднее значение не попадет в интервал, ограниченный контрольными пределами в 3-сигма (при условии нормального распределения выборочных средних и статистической устойчивости работы производственного процесса). Поэтому, в качестве еще одного индикатора разладки производственного процесса можно рассматривать ситуацию, когда девять последовательных выборочных средних находятся с одной стороны от центральной линии. Имеется аналогичная статистическая интерпретация и других, более сложных положений точек на КК.

Удобно  для задания критериев поиска серий область контрольной карты над центральной линией и под ней делится не на две, а на три  "зоны", как показано на рисунке 8.2.

По умолчанию, зона А определяется как область, расположенная на расстоянии от 2 до 3 сигма по обе стороны от центральной линии. Зона В определяется как область, отстоящая от центральной линии на расстояние от 1 до 2 сигма, а зона С - как область, расположенная между центральной линией по обе ее стороны и ограниченная прямой, проведенной на расстоянии одной сигма от центральной линии.

Ниже рассмотрены критерии серий, которые имеют чёткое статистическое обоснование. Ошибка первого рода при принятии решений по приведённым в этом разделе критериям, кроме специально оговорённых случаев, соответствует правилу «3s» для двустороннего случая (не превышает ~0,00135). В литературе и в стандартах (см., например, ГОСТ Р 51814.3) приводятся другие критерии, к сожалению чаще всего, без указания на их статистическое обоснование.

9 точек в зоне С или за ее пределами (с одной стороны от центральной линии).            Если этот критерий выполняется (т.е. если на контрольной карте обнаружено такое расположение точек), то делается вывод о возможном изменении среднего значения процесса в целом. Заметим, что здесь делается предположение о симметричности распределения исследуемых характеристик качества вокруг среднего значения процесса на графике. Но это условие не выполняется, например, для R-карт, S-карт и большинства карт по альтернативному признаку. Тем не менее, данный критерий полезен для того, чтобы указать занимающемуся контролем качества инженеру на присутствие потенциальных трендов процесса.

6 точек монотонного роста или снижения, расположенные подряд. Выполнение этого критерия сигнализирует о сдвиге среднего значения процесса. Часто такой сдвиг обусловлен изнашиванием инструмента, ухудшением технического обслуживания оборудования, повышением (или снижением) квалификации рабочего и т.п. (эта ситуация представлена на рис. 8.2).

14 точек подряд в "шахматном" порядке (через одну над и под центральной линией).    Если этот критерий выполняется, то это указывает на действие двух систематически изменяющихся причин, которое приводит к получению различных результатов. Например, в данном случае может иметь место использование двух альтернативных поставщиков продукции или отслеживание двух различных альтернативных воздействий на процесс.

2 из 3-х расположенных подряд точек попадают в зону A или выходят за ее пределы.    Этот критерий служит "ранним предупреждением" о начинающейся разладке процесса. Заметим, что для данного критерия вероятность получения ошибочного решения (критерий выполняется, однако процесс находится в нормальном режиме) в случае Х-карт составляет приблизительно 2 %.

4 из 5-ти расположенных подряд точек попадают в зону B или за ее пределы (т.е. в зону А или далее). Как и предыдущий, этот критерий может рассматриваться в качестве индикатора ("раннего предупреждения") о возможной разладке процесса. Процент принятия ошибочного решения о наличии разладки процесса для этого критерия также находится на уровне около 2%.

15 точек подряд попадают в зону C (по обе стороны от центральной линии). Выполнение этого критерия указывает на более низкую изменчивость по сравнению с ожидаемой, т.е. той, на основании которой были рассчитаны контрольные пределы. В этом случае есть все основания пересчитать контрольные и предупредительные границы.

8 точек подряд попадают в зоны B, A или выходят за контрольные пределы, по обе стороны от центральной линии (без попадания в зону C). Выполнение этого критерия служит свидетельством того, что различные выборки подвержены влиянию различных факторов, в результате чего выборочные средние значения оказываются распределенными по бимодальному закону с двухгорбным распределением. Такая ситуация может сложиться, например, когда отмечаемые на -карте выборки изделий были произведены двумя различными станками, один из которых производит изделия с значением контролируемой характеристики выше среднего, а другой - ниже.

8.4 Контрольные карты для альтернативных признаков

Наиболее распространённые КК для альтернативных признаков представлены в таблице 8.1. Для обеспечения эффективности этих карт требуются большие объёмы выборок (свыше ста единиц продукции), причём объёмы выборок должны быть одинаковыми (допускается различие не более 25%).  Во всех случаях, если есть такая возможность необходимо отдавать предпочтение КК по количественным признакам.

Таблица 8.1

8.5 Традиционные КК Шухарта

8.5.1 -карта контроля Шухарта

Согласно следствию из теоремы Лиденберга-Фёллера распределение значений выборочного среднего  случайных выборок, полученных из одной генеральной совокупности, стремится к нормальному при объеме выборки, равном или большем 4, даже если эта генеральная совокупность не является нормальной. Почти все значения (за исключением только 0.27%) в нормальном распределении лежат внутри интервала среднее ± 3-сигма.

Отсюда следует, что если в длинной последовательности измерений выборки являются нормальными и произведены из одной генеральной совокупности, то их средние почти всегда попадают внутрь интервала (m ± 3s). Это видно из рисунка 8.3, на котором изображена контрольная карта для средних 100 выборок по 4 из нормально распределённой совокупности чисел, представленных в таблице 8.2. Ни одна точка не выходит за контрольные пределы 45 и 15. Для 1000 выборок по 4 из этого резервуара только 2 из 1000 точек выходят за эти контрольные пределы.

Рисунок 8.3

Таблица 8.2 - 400 измерений, объединенные в выборки по 4

На рисунке 8.3 центральная линия установлена в значение 30, равное m, известному значению математического ожидания генеральной совокупности. Пределы «3 - сигма» могли быть вычислены на основе известного значения s, которое округленно равно 10. Стандартная ошибка для среднего (стандартное отклонение выборочного среднего как случайной величины) равна:

Следовательно, границы «3-сигма» расположены на расстоянии 3s=3*5=15 от значения 30, что соответствует верхнему контрольному пределу 45 и нижнему контрольному пределу 15.

Неверно утверждать, что для длинной серии, при условии неизменности генеральной совокупности, за границы 3-сигма на -карте будут выходить именно 27 точек из 10000 (т.е. 0.27% всех наблюдений). Это может быть верным только в случае, когда значения  в точности нормальные и контрольные пределы основаны на известных значениях m и s. На практике, несмотря на то, что распределение значений  приблизительно нормально, этим фактом нужно пользоваться осторожно. Если генеральная совокупность не нормальна, то границы 3-сигма предпочтительнее вычислять по наблюдаемым данным, а не по параметрам генеральной совокупности. Границы 3-сигма при неправильном применении могут стать плохими индикаторами отсутствия статистической устойчивости.

Границы 3-сигма редко дают ошибку при обнаружении нарушений в работе процесса (т.е. неслучайных причин изменчивости), когда на самом деле нарушений не происходит. Если точки на -карте попадают вне границ 3-сигма, это хорошее основание для уверенности в том, что наблюдается влияние на изменчивость качества некоторых факторов, которые должны быть выявлены.

8.5.2 Вычисление границ 3-сигма для контрольных -карт

Ниже будут произведены вычисления контрольных пределов для 20 первых выборок из таблицы 8.2. После вычисления средних и размахов выборок следующим шагом   является вычисление  и . Для первых 20 выборок вычисления дают:

Далее оценивается s с помощью таблицы 8.6. Для этого нужно определить из таблицы 8.6 значение фактора d₂ для данного размера выборок. В нашем случае n = 4, и таблица 8.6 дает d₂ = 2,059. Тогда:

Теперь 3s можно вычислить по формуле (с учётом ):

Верхний контрольный предел = = 28,9 + 13.4 = 43,3

Нижний контрольный предел = = 28,9 – 13.4 = 15,5

Эти два шага вычисления 3s могут быть объединены в одном

Для облегчения вычислений контрольных пределов по  значения множителя  для всех значений n от 2 до 20 приведены в таблице 8.7. Этот множитель обозначен как A₂. Формулы для вычисления контрольных пределов 3-сигма для -карты принимают вид:

Если контрольные пределы вычисляются не по , а по , то вычисления для первых 20 выборок принимают вид:

Далее используется значение c₄ из таблицы 8.6.

Оценка s, , ,

где , причём (1/2)!=.

Как и при вычислении по , два шага вычисления 3s могут быть объединены в одном:

Для облегчения вычислений контрольных пределов по  значения множителя для всех значений n от 2 до 25 приведены в таблице 8.8. Этот множитель обозначен как A₃. Формулы для вычисления контрольных пределов 3-сигма с использованием этого множителя принимают вид:

Для тех ситуаций, когда желательно вычислять контрольные пределы прямо по известным стандартным значениям s и m, множитель  вычислен и приведен в таблице 8.9. Этот множитель обозначен как A. Формулы для вычисления контрольных пределов 3-сигма с использованием этого множителя принимают вид:

 или 

 или  .

По этим формулам были вычислены контрольные пределы для контрольной карты на рисунке 8.3. В данном случае для известных значений m = 30 и s = 10 значение для A в таблице 9 равно 1.50  и

Различные уравнения для центральной линии и контрольных границ 3-сигма на контрольных картах для ,  и  собраны вместе в таблице 8.3. Множители (такие как A, A₁ и т.д.) берутся из таблиц, приведенных в приложении. Читатель заметит, что диапазон границ для -карты, так же как и для  или    карты,  зависит от дисперсии процесса. Пределы для всех карт могут быть вычислены прямо по известной или предполагаемой s путем оценки  или . В промышленной практике в большинстве случаев границы вычисляются по .

   Таблица 8.3 - Уравнения для вычисления контрольных пределов 3-сигма

8.5.3 Контрольные карты размаха и стандартное отклонение выборки

Основной формулой для контрольных пределов на -карте является . Подобным образом выглядят формулы для контрольных карт при измерении дисперсии выборок:

Для R-карты:

Для s-карты:

Однако при использовании этих трех формул для вычисления нижних контрольных пределов эти пределы станут меньше 0, когда n равно или меньше 6 для R-карт, и когда n равно или меньше 5 для s-карт. Так как R и s не могут быть меньше 0, нижняя граница в этих случаях не используется.

На рисунках 8.4 и 8.5 показаны контрольные карты R и s для 100 выборок по четыре, представленных в таблице 8.2. Пределы на этих картах вычислены с использованием соответствующих значений  и , найденных по таблице 8.2 с помощью уравнений, приведенных в таблице 8.3.

Рисунок 8.4

Рисунок 8.5

Сходство изменчивости от выборки к выборке на R и s картах становится заметным при проведении линии, последовательно соединяющей все точки. Кажется очевидным, что обе карты показывают одинаковую историю. Каждая из них может быть использована для отображения истории процесса; нет необходимости использовать сразу обе.

Целью проведения вычислений как R, так и s для данных в таблице 8.2 было показать, что R и s являются альтернативными измерениями одной и той же характеристики, что они приводят к сходным оценкам s, сходным контрольным пределам для -карт и сходным контрольным картам, показывающим разброс выборок.

При практическом использовании контрольных карт в промышленности для измерения разброса выборок намного чаще используется R, а не s. Как уже было сказано, такой выбор делается вследствие простоты вычисления R с помощью ручных расчетов. Также важно то преимущество, что R более просто для понимания: почти каждый может понять смысл размахов, тогда как люди со слабым знанием статистики с трудом понимают смысл стандартного отклонения.

8.5.4 Оценки s по  и  при различных объемах выборок в контролируемых процессах

В предшествующем описании -карт предполагалось, что ширина интервала между верхними и нижними контрольными пределами полностью зависит от изменчивости внутри выборок, которая измерялась с помощью среднего размаха  или с помощью среднего стандартного отклонения выборок . Оба способа оценки,  и , дают оценку s, стандартного отклонения генеральной совокупности. Представляет интерес изучение свойств контролируемого процесса в предположении, что эти оценки s зависят от размера выборки n.

Если образцы выбираются один за другим из нормально распределённой совокупности, каждый образец после проверки возвращается и образцы перемешиваются перед очередным взятием выборки (выборка с возвращением), не существует некоторого естественного размера выборок, т.е. допустимо объединять образцы в выборки любого размера. Для иллюстрации эффекта различия в объеме выборок 400 отобранных образцов были разбиты на выборки по 2, 4, а затем по 8 образцов в выборке, и для каждой выборки были вычислены значения R и s. Значения  и  для выборок по 2 и по 8 были вычислены для каждого набора по 80 отобранных образцов, и для всех 400 отобранных образцов s была оценена по  и  с использованием соответствующих множителей d₂ и c₄ из таблицы 8.6.

В таблице 8.4 показаны оценки s для каждого набора по 80 образцов и для всех 400 образцов с использованием статистик  и  для оценивания и для трех различных размеров выборок. Можно отметить весьма близкое соответствие между различными оценками s для любого набора образцов. Очевидно, что разброс оценок s от одного набора из 80 образцов к другому значительно больше, чем разброс между различными оценками для любого набора. Казалось бы, с точки зрения оценки дисперсии генеральной совокупности приемлемы многие различные размеры выборок. (Точно так же будет замечено, что  и  дают одинаковые оценки s для выборок размера 2. Размах выборки размера 2 равен  умножить на стандартное отклонение выборки. Следовательно, d₂ равно  умножить на c₄, и  равно  умножить на ).

Таблица 8.4 - Сравнение оценок стандартного отклонения
генеральной совокупности s по выборкам размера 2, 4 и 8
(известное значение s = 9.95)

Несмотря на то, что достаточно хорошие оценки s могут быть получены по различным выборкам разного размера, в конкретных случаях часто имеются основания для выбора определенного размера выборки.

8.5.4 Распределение стандартного отклонения

Генеральные совокупности позволяют строить распределения, имеющие меньший разброс, такие как распределение выборочных средних, стандартных отклонений или размахов. И если каждая генеральная совокупность имеет свое среднее и стандартное отклонение, то и каждое распределение выборочных средних, стандартных отклонений или размахов как случайных величин тоже имеет собственное среднее и стандартное отклонение.

К сожалению, статистическая теория не может дать такие полезные обобщения распределения s, как это делается для . В случае с  теория дает ожидаемое среднее m и ожидаемое стандартное отклонение , причем обе оценки не зависят от закона распределения генеральной совокупности. Более того, теория утверждает, что в случае нормальности распределения генеральной совокупности распределение значений  также будет нормальным вне зависимости от размера выборки. Также утверждается, что, даже если распределение генеральной совокупности не является нормальным, распределение значений  будет стремиться к нормальному при увеличении размера выборок. Тем не менее, если генеральная совокупность нормальна, статистическая теория может дать нам ожидаемое среднее и ожидаемое стандартное отклонение распределения s. Как уже было отмечено, в выборках из нормальной генеральной совокупности ожидаемое среднее  равно c₄×s_s. Наиболее часто используемой оценкой s_s, ожидаемого стандартного отклонения распределения s для выборок из нормальной генеральной совокупности, является . Также известно, что при увеличении n распределение s становится все более симметричным.

Теоретические знания о распределении s для выборок из нормальной совокупности позволяют строить 3-сигма границы на контрольных s-картах. Центральная линия на контрольной карте устанавливается на уровне . Пределы задаются как .

Приблизительное значение s_s для нормальной совокупности равно

                                                                                                (8.2)                                                                

Современная статистическая теория дает точное значение, равное:

                                                                                                 (8.3)                

Когда n велико, разность между точным и приближённым значениями незначительна. Уравнение (8.3) используется для вычисления контрольных пределов, когда n равно или меньше 25; уравнение (8.2) используется при n, большем 25.

Когда границы 3-сигма для s-карты вычисляются по наблюдаемому , они равны:

Когда пределы основаны на известном или предполагаемом значении стандартного отклонения генеральной совокупности s, они равны:

UCL_s = + 3s_s = B₆×

LCL_s = - 3s_s = B₅×

При вычислении s_s для множителей B₄ и B₃, приведенных в таблице 8.8, s полагается равной . Множители B₅ и B₆ берутся из таблицы 8.9.

8.5.5 Распределение размахов

Несмотря на то, что не существует простой формулы для вычисления как ожидаемого среднего размаха R, так и для стандартного отклонения размаха s_R, статистическая теория дает отношение этих величин к стандартному отклонению s для нормальной генеральной совокупности. Теория также полностью определяет ожидаемое распределение R выборок из нормальной генеральной совокупности.

Когда 3-сигма пределы вычисляются по наблюдаемому R, они равны:

Когда пределы основаны на известном или предполагаемом значении стандартного отклонения s, они равны

В этих формулах множитель d₂ численно выражает ожидаемое значение , а множитель d₃ выражает стандартное отклонение этой взаимосвязи. Значения d₂ и d₃ берутся из таблицы 8.6. Множители, необходимые для вычисления контрольных пределов, содержатся в таблицах 8.7 и 8.9.

8.5.6 Модификация множителя d₂ для малого числа выборок

При оценке s по  используется дробь . При использовании множителя d₂ математическая теория предполагает, что выборки производятся из нормальной генеральной совокупности. Множитель d₂ зависит от размера выборок. Например, он равен 2.326 для выборок размером 5.

Строго говоря, обоснованное применение точного значения множителя d₂ предполагает что размахи усреднены по достаточно хорошему количеству выборок, скажем, 20 или больше. В случае, когда доступно небольшое количество выборок, наилучшая оценка s получается при использовании множителя, который обычно обозначается как . Таблица 8.5 показывает зависимость этого множителя от числа выборок для случая, когда размер выборок равен 5.

Таблица 8.5 - Отношение ожидаемого  к s в усредненных размахах
для различных размеров выборок по 5 из нормальной генеральной совокупности

           Обычно при построении контрольных карт для контроля качества в промышленности для практических целей больше подходят множители, основанные на d₂, а не на . Однако в некоторых других статистических приложениях желательно использовать .

Таблица 8.6 - Множители для оценки s по ,  или  и по

Таблица 8.7 - Множители для определения по  контрольных пределов 3-сигма для и R карт

Примечание. Все множители вычислены при предположении о нормальности генеральной совокупности.
Верхний контрольный предел для

Нижний контрольный предел для

Верхний контрольный предел для

Нижний контрольный предел для

Таблица 8.8 - Множители для определения по и
контрольных пределов 3-сигма для и s или s _rms карт

(Все множители в таблице основаны на нормальном распределении)

Верхний контрольный предел для

Нижний контрольный предел для

Верхний контрольный предел для s и

Нижний контрольный предел для s и .

Таблица 8.9 - Множители для определения по s
контрольных пределов 3-сигма для , R, s или s _rms карт

(Все множители в таблице основаны на нормальном распределении)

8.6 Контрольные карты с памятью

В отличие от  традиционных КК Шухарта, контрольные карты с памятью учитывают информацию не только от только что полученной выборки, но и информацию от предыдущих выборок. Именно поэтому этот тип карт и называется «КК с памятью». Теория построения таких карт основывается на общей теории обработки сигналов, представленных в виде временных  рядов. В общем виде  значение переменной Y(g(x)),  которое наносится на поле любой КК, представима в виде линейного соотношения:

Y(g_t(x)) = a + ,                                                                                        (8.6.1)

где индекс t относится к текущему значению g(x), а индекс i – к предыдущим значениям контролируемой статистики g(x) (см. рисунок 8.1).

В таком представлении обычные КК Шухарта являются частным случаем при а = 0, b_i= 0 для i ¹ t и b_i= 1 для i = t.

Наиболее простыми КК с памятью являются MOSUM-карты, для которых а =0 и b_i = , т.е. значения предыдущих статистик входят в текущую с весовым коэффициентом, обратнопропорциональным расстоянию от текущего момента t. Построенная по такому принципу переменная g_t(x) называется скользящим средним (moving sum). В качестве статистики в MOSUM-картах могут использоваться любые как количественные, так и альтернативные показатели. Наиболее часто этот тип карт применяется для R-карт в случае сдвоенных карт индивидуальных значений, когда объём выборки n=1 и за размах принимается разность между соседними индивидуальными значениями:

R_i = X_i – X_i-1.

Для построения EWMA-карт используют экспоненциально-взвешенное среднее (exponentially weighted moving average):

Y(g_t(x)) = (1-d)× g_t-1(x) + d× g_t(x) (0< d < 1),

где g_t-1(x) – значение контролируемого параметра, полученного на предыдущем шаге, которое в свою очередь учитывала предшествующее значение g_t-2(x), и т.д.

Можно показать, что:

Y(g_t(x)) = (1-d)^t× g₁(x) + d×.

Т.е. для этого типа КК а = (1-d)^t× g₁(x) , а коэффициенты b_i = d×(1-d)^t-i представляют собой убывающую геометрическую прогрессию. При d = 1 получаем обычную КК Шухарта. (Проверьте!)

В KUSUM-карте в качестве контрольной величины используется накопленная (кумулятивная) сумма разностей между статистикой и её номинальным значением:

Y(g_t(x)) = ,                                                         (8.6.2)

где g_ном – номинальное (требуемое) значение статистики g(x), соответствующее средней линии КК.

"3.2. Роль государства в антикризисном управлении" - тут тоже много полезного для Вас.

Для этого типа карт а = -t×g_ном, b_i = 1.

Рассмотрим как работает КК с памятью на примере  KUSUM-карты средних значений. Как только появляется сдвиг в виде ступеньки D_m = m_t ± m_ном или в виде тренда m_t = m_ном ± d(t), то согласно (8.6.2), контрольная переменная начинает изменяться по линейному закону:

Y(g_t(x)) = (m_t - m_ном)=

Графически это показано на рисунке 8.6.2, на котором представлены «реакции» КК Шухарта (рис. 8.6.2(а)) и KUSUM-карты (рис. 8.6.2(б)) на появление в момент t единичного ступенчатого изменения D_m. На рисунке 8.6.2 заштрихованная область – это область попадания контрольных точек.

Из рисунка 8.6.2 видно, что КК Шухарта после появления «ступеньки» далеко не всегда отреагирует  выходом контрольной точки за пределы контрольной линии. В KUSUM-карте практически любое отклонение процесса от статистически устойчивого состояния приведёт к возрастающему отклонению точек от номинальной линии. В случае ступеньки это отклонение будет линейным и пропорциональным «величине» ступеньки, а в случае тренда – нелинейным, причём характер роста отклонения даст представление о характере тренда. Более детальный анализ KUSUM-карты проводится с помощью V-маски (см., например, ГОСТ Р 50779.45).