Минимизация погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа. Многочлен Чебышева
Минимизация погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа. Многочлен Чебышева
Задача:
Дано: f(x) на [a,b], непрерывная и дифференцируемая до (n+1) порядка.
Найти: x0, x1, ..., xn — узлы, такие, что максимальная погрешность
была бы минимальной.
Ослабление задачи: ® min.
Случай 1) Пусть [a,b]=[-1,1].
Опр. Многочленом Чебышева на [-1,1] называется
.
Рекомендуемые материалы
Выведем рекуррентную формулу для многочленов Чебышева.
Сначала отметим , .
Обозначим Þ
+
Þ
Þ
Þ
Свойства многочленов Чебышева:
1) Если n – четно (нечетно), то Tn(x) содержит только четные (нечетные) степени x.
Док-во: по индукции.
2) Старший коэффициент Tn(x) равен 2n–1 (для n ³ 1).
Док-во: по индукции.
3) Многочлен Tn(x) имеет n действительных корней в интервале (–1,1), по формуле
, i = 0,...,n–1.
Док-во: подстановкой.
4) , причем , m = 0,...,n.
Док-во: по определению.
5) Многочлен 21-n×Tn(x) имеет старший коэффициент 1 (для n ³ 1) и выполняется неравенство
для любого многочлена Pn(x) степени n со старшим коэффициентом 1.
(Без док-ва)
Замечание: Многочлен Чебышева — "многочлен, наименее уклоняющийся от нуля".
Теорема 1 (без док-ва).
Корни многочлена Tn+1(x), т.е. , i = 0,...,n, минимизируют в оценке погрешности интерполяционного многочлена. При этом
и .
Случай 2) Произвольный [a,b].
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 36 - Режимные стационарные наблюдения.
Введем новую переменную .
Тогда f(t) определена на [–1,1].
Используя , i = 0,...,n, находим .
Теорема 2 (без док-ва).
Значения , i = 0,...,n, минимизируют в оценке погрешности интерполяционного многочлена. При этом
и .