Существование и единственность интерполяционного многочлена
Существование и единственность интерполяционного многочлена
Задача:
Дано: x0, x1, ..., xn — узлы,
f0, f1, ..., fn — значения f(x) в узлах.
Найти: , такой, что
Lm(xi) = fi, i=0,...,n.
Теорема.
Существует единственный многочлен степени , удовлетворяющий условиям задачи.
Док-во:
Рекомендуемые материалы
Чтобы найти многочлен Lm(x) нужно найти коэффициенты a0,a1,...an.
Они должны удовлетворять СЛУ
, i=0,...,n.
В системе (m+1) неизвестных, (n+1) уравнение.
Если система крамеровская, то решение существует и единственное.
Пусть m+1= n+1, т.е. m=n.
Главный определитель системы
— определитель Вандермонда.
. Если все узлы различны, то . Теорема доказана.
Замечание (иллюстрация):
"Основные черты национально-освободительного движения в Индии" - тут тоже много полезного для Вас.
Если m<n, СЛУ может быть несовместна.
Например, m=1, n=2, найти линейную функцию (прямую), проходящую через три точки:
Если m>n, СЛУ имеет бесконечно много решений.
Например, m=2, n=1, найти квадратичную функцию (параболу), проходящую через две точки: