Применение дифференциальных уравнений с малым параметром для решения нелинейных трансцендентных и алгебраических уравнений

Применение дифференциальных уравнений с малым параметром для решения нелинейных трансцендентных и алгебраических уравнений.

Пусть задана некоторая непрерывно-дифференцируемая функция . Требуется решить нелинейное или трансцендентное уравнение вида

                                                    (31)

Встречающиеся на практике уравнения не удается решить прямыми методами, поэтому для их решения используются итерационные методы. Все итерационные методы решения трансцендентных и алгебраических уравнений вида (31) можно разбить на две группы:

*  дискретные схемы решения.

*  непрерывные схемы решения.

Дискретные схемы решения были рассмотрены выше. Заметим, что основными недостатками вышеперечисленных методов являются:

· зависимость от начальных условий или от интервала нахождения корня;

· сравнительно низкая скорость сходимости;

Рекомендуемые материалы

· ничего не говорится о правилах перехода от корня к корню уравнения (31) в случае, если их несколько.

При применении непрерывных схем для решения уравнения (31) процесс нахождения корней осуществляется путем решения соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения

                                        (32)

Пусть  определена и монотонна при  и существует конечная производная . Задачу нахождения корней уравнения (31), являющуюся непрерывным аналогом метода простых итераций, можно рассматривать как предел при  решения задачи Коши

                                              (33)

если этот предел существует. Обозначим через  решение задачи Коши (33),  - искомое решение уравнения (31). Тогда должно иметь место тождество . Вводя обозначение для отклонения  и вычитая из (33) последнее уравнение имеем

.                                          (34)

Разлагая  в ряд Тейлора в окрестности точки  с сохранением линейных членов  и подставляя полученное выражение в (34), получаем дифференциальное уравнение в отклонениях , решение которого имеет вид

                                                   (35)

Видим, что условием сходимости  к корню  является требование , так как в этом случае  при , и, следовательно . Считая, что  монотонна при , последнее уравнение можно распространить на всю рассматриваемую выше область. Таким образом, условием применения непрерывной схемы метода простых итераций (33) является

                                                         (36)

Непрерывные схемы решения обладают более высокой скоростью сходимости и более высокой точностью решения по сравнению с соответствующими дискретными схемами. Но проблема зависимости от начальных условий и отсутствие правил перехода от корня к корню в случае, когда уравнение (31) имеет более одного решения, остается открытой.

Как видно из дифференциального уравнения (33) и уравнения (31) левая часть последнего заменяется производной . Данная замена является грубым приближением решения задачи (33) к решению задачи (31). Это влечёт за собой не только большую погрешность при вычислениях, но и к снижению скорости расчётов.

Перепишем уравнение (31) в виде

                                                       (37)

где  - малый параметр, .

Переход от задачи (31) к задаче (37) теоретически обоснован, так как интегральные кривые, являющиеся решением уравнения с малым параметром (37), проходят через все решения уравнения (31). Задача нахождения корней этого уравнения непрерывным сингулярным аналогом метода простых итераций можно рассматривать как предел при  и  решения задачи Коши вида

                                        (38)

если этот предел существует.

Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным выше, получим, что решение уравнения (37) в точке  будет иметь вид:

Электронная почта (E-Mail) - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

                                                     (39)

При этом, так как , то условие сходимости (36) останется прежним.

Полученная модификация классических схем решения не зависит от начальных условий и обладают более высокой точностью решения. Для доказательства более быстрой скорости сходимости предположим, что применение итерационных методов никогда не дает точного решения и вводим точность решения . Моменты нахождения решений с точностью  классическими и модифицированными методами обозначим как  и . Используя решения (35) и (39), запишем неравенства вида

,

.

Из соотношений видно, что  и . Сопоставляя полученные значения  и , видим, что , т.е. скорость сходимости при решении задачи модифицированными методами в  раз выше, чем классическими.