Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов

Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов.

Данный метод относится к классу аппроксимационных методов. Идея метода состоит в том, чтобы по данным эксперимента построить приближенно функцию, отображающую зависимость ее от , в виде многочлена с тем расчетом, чтобы сумма квадратов отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна. Будем строить функцию в виде многочлена

.

Используем для построения результаты эксперимента, заключенные в таблице

Построить многочлен, значит, определить его коэффициенты . Для этого введем функцию и потребуем, чтобы , где  - отклонение функции от экспериментальной в узлах .

Используя вид , получим:

.

Необходимыми условиями экстремума функции  является равенство нулю ее первой производной по всем переменным . Расписав эти условия, получим СЛАУ вида:

Запишем систему для определения  в нормальной форме:

Решаем систему одним из известных методов и находим , которые затем подставляем в искомый многочлен.

Запишем алгоритм метода наименьших квадратов.

1. Вводим таблицу чисел .

2. Вычисляем .

3. Решая любым известным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений, находим  - коэффициенты искомого многочлена.

Для таблицы узловых точек, приведенных выше, построим аппроксимационный многочлен второго порядка методом наименьших квадратов вида:

.

Для этого необходимо вычислить следующие суммы

и решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов  вида:

"16.3 Протоколы СЕТЕЙ" - тут тоже много полезного для Вас.

Значения неизвестных коэффициентов равны:

.

Тогда искомый многочлен второго порядка будет иметь вид:

.

Нетрудно заметить, что в узловых точках значения многочлена и табличной функции не совпадают. Погрешность вычислений по данной формуле в контрольной точке, по сравнению с истинным значением, составляет

.