Численное интегрирование. Квадратурная формула Ньютона-Котеса

Численное интегрирование. Квадратурная формула Ньютона-Котеса.

Если функция  непрерывна на отрезке  и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции в пределах от  до  может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

                                                 (16)

где . Однако, во многих случаях  не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле (16) может быть затруднено или даже практически невыполнимо. Поэтому, важное значение приобретают численные методы вычисления определенных интегралов, использующие ряд значений подынтегральной функции в точках .

Вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного - механической кубатурой. Соответствующие формулы будем называть квадратурными и кубатурными формулами.

Рассмотрим способы вычисления однократных интегралов.

Если воспользоваться интерполяционным полиномом Лагранжа, то, заменяя функцию  полиномом , получим равенство

                                       (17)

где  - ошибка этой квадратурной формулы.

Рекомендуемые материалы

Пусть требуется вычислить интеграл , где . Выбрав шаг , разобьем отрезок  на  равных частей с помощью равноотстоящих точек , , , . Заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Лагранжа и получим приближенную квадратурную формулу

                                            (18)

Выведем явные выражения для коэффициентов  формулы (18). Многочлен Лагранжа  имеет коэффициенты

, .

Вводим обозначения  и  и с учетом этих обозначений многочлен Лагранжа запишем в виде:

                                                     (19)

Заменяя в формуле (18) функцию  полиномом  в виде (19), получим:

,

где .

Так как  и , то сделав замену переменных в определенном интеграле, будем иметь:

, .

Так как , то можно записать коэффициенты Котеса:

,                                    (20)

Квадратурная формула при этом принимает вид:

                                              (21)

Рассмотрим частные случаи.

По формуле (20) при  вычислим:

,

.

Полученная формула является формулой трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла (Рис.10).

По формуле (20) при  вычислим:

Лекция "43 Роль Данила Галицкого в национальной истории" также может быть Вам полезна.

;

.

Следовательно, так как , то квадратурная формула для вычисления интеграла имеет вид

.

Эта формула является формулой Симпсона. Геометрическая интерпретация формулы состоит в том, что происходит замена данной кривой  параболой , проходящей через три точки  (Рис.11).