Интерполяционная формула Лагранжа
Интерполяционная формула Лагранжа.
Пусть задана система точек 
, в которых известны значения функции 
. То есть, задана следующая таблица
Установим зависимость 
одного ряда чисел от другого и построим новую функцию, которая с определенной степенью точности будет приближена к заданной.
Рассмотрим пример построения интерполяционного многочлена Лагранжа по заданной системе точек (в общем случае для неравноотстоящих аргументов). Построим некоторый многочлен 
таким образом, чтобы его значения совпали со значениями функции, заданными в таблице, для тех же аргументов, то есть 
. Лагранж предложил строить многочлен 
степени в виде:
.
Здесь в каждом слагаемом отсутствует скобка 
, которой соответствует коэффициент 
.
Найдем неизвестные коэффициенты 
, называемые коэффициентами Лагранжа, используя условие 
:
При 
: 
.
.
Следовательно, коэффициент 
вычисляется по следующей формуле:
При 
: 
.
.
Следовательно, коэффициент 
вычисляется по следующей формуле:
.
Значения остальных коэффициентов вычисляются аналогично.
С учетом найденных коэффициентов интерполяционный многочлен Лагранжа запишется в виде
Остаточный член формулы:
,
где 
- точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы 
и точку 
.
Пример. По заданной системе точек
|
|
|
|
|
|
| 0.5 | 0.707 | 1.0 |
построить интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка вида:
Коэффициенты этого многочлена будут вычислены по формулам вида:
Тогда многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь вид:
.
Вам также может быть полезна лекция "25 Конечно-разностные методы".
Учитывая, что таблица приведена для функции 
, вычисленной в контрольных точках 
, сравним погрешность вычислений данной функции и построенного многочлена в контрольной точке 
:
и 
.
Погрешность вычислений, по сравнению с истинным значением, составляет
.
Ниже приведены графики синусоиды и построенного многочлена Лагранжа на заданном интервале. Из графика видно, что многочлена второго порядка достаточно для обеспечения необходимой точности воспроизводимой синусоиды.
