Извлечение корня n-ой степени из комплексных чисел
§3. Извлечение корня n – ой степени из комплексных чисел.
По определению:
На множестве действительных чисел для однозначности вводится понятие арифметического корня: корень четной степени – неотрицателен. В комплексной области такого ограничения быть не может (см. замечание к §1). Вообще говоря, все значения корня считаются равноправными. Из предыдущего параграфа следует, что одним из корней из числа 
будет число 
Нетрудно видеть, что любое из чисел
также являются корнями из этого числа 
. При этом все они будут различны для k = 0,1,…, n −1. Для последующих значений k числа начнут повторяться. Окончательная формула имеет вид:
Бесплатная лекция: "36 - Режимные стационарные наблюдения" также доступна.
, k = 0,1,2,…,n − 1.
Все полученные значения будут располагаться в вершинах правильного n−угольника.
Замечание. Фактически, при извлечении корня пришлось использовать величину Arg z.
Примеры. 1)
.
2) Рассмотрим квадратный корень из положительных и отрицательных действительных чисел в комплексной области. Корни из положительного числа а2 будут, очевидно, равны: 
, что легко показать и формально. Отрицательные числа имеют аргумент, равный 
. Отсюда аргументы значений корня будут равны 
Следствием полученного результата являются формулы для корней квадратного уравнения в случае отрицательного дискриминанта: 
