Множества комплексной плоскости

§4. Множества комплексной плоскости.

В §1 было показано, что  равен расстоянию от начала координат до т. z.  Таким образом,

геометрический смысл модуля в комплексной области совпадает с  геометрическим смыслом модуля в действительной области. Легко видеть, что и модуль разности 2-х комплексных чисел обладает тем же свойством: . Где  d(z,z₀) – расстояние от т. z  до т. z₀  на комплексной плоскости. Отсюда следует, что уравнение  описывает окружность с центром в т.z₀ радиуса R, неравенства  кольцо ширины 3 с центром в т.i , без внешней границы (рис.2). Уравнение arg z = π/3 описывает луч из начала координат под углом в 60⁰ к оси ОХ. Неравенства  π/6 ≤ arg z ≤ π/4 –множество точек между лучами под углом в 30⁰ и 45⁰ к оси ОХ (угол в 15⁰ с границами). Вспомнив геометрический смысл кривых 2^го порядка, можно сказать, что неравенство  описывает множество точек между ветвями гиперболы с фокусами в тт. z₁ и z₂, а внутренние точки эллипса  и сам эллипс.

   В комплексной области вводится комплексное число  z = ∞. Комплексная плоскость вместе с единственной бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью. По умолчанию, говоря о комплексной плоскости, будем считать ее расширенной.

  Понятие области в ТФКП имеет более конкретный смысл нежели в теории функций действительной переменной. Областью называется открытое связное множество точек комплексной плоскости (т.е. открытое множество, 2 любые точки которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству). Напомним, что т. z  называется внутренней точкой области, если существует окрестность этой точки, целиком принадлежащая области и граничной точкой, если любая ее окрестность содержит как точки области, так и точки области не принадлежащие. Множество граничных точек называется границей области.  Замкнутой областью называется область вместе с границей.

   Область G называется односвязной, если любой замкнутый без самопересечений контур  ограничивает некоторую область , и многосвязной в противном случае.

  ε – окрестностью т. называется открытый круг радиуса ε с центром в т. z₀ :

  ε – окрестностью бесконечно удаленной т. z = ∞ :  называется множество точек  расширенной комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству: .