Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра
§2. Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.
В предыдущем параграфе было рассмотрено представление комплексных чисел в декартовой системе координат. Рассмотрим теперь комплексные числа в полярных координатах. Как известно, декартовы координаты выражаются через полярные следующим образом:
Отсюда получаем: − тригонометрическая
форма комплексного числа.
Здесь:
Рекомендуемые материалы
Рассматривается два стандарта изменения φ: .
Иногда приходится пользоваться понятием Arg z
Ясно, что величина самого комплексного числа при этом никак не изменяется.
Формулы для стандарта -π < φ ≤ π имеют вид:
(Для стандарта: 0 ≤ φ < 2π формулы будут немного отличаться)
Бесплатная лекция: "6.1 Экономическое и социальное развитие России при первых Романовых" также доступна.
Аргумент числа z = 0 не определен.
Примеры: − 2 ; i ; 1 − i . {2, π ; 1, π/2 ; 2, −π/3 или 5π/3 }
Рассмотрим произведение 2-х комплексных чисел: z1z2 = r1 r2()() =
=
Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент – сумме аргументов. Отсюда следует формула Муавра:
.