Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ТФКП).

                         Глава I. Комплексные числа и комплексные функции .

§1. Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.

  Определения. Комплексным числом называется выражение z = x +iy, где  , а  i называется мнимой единицей и определяется следующим образом: .

x называется действительной частью комплексного числа: x=Re z , y – мнимой частью: y= Im z. 

 Два комплексных числа  и  называются равными, если их

действительные и мнимые части, соответственно, равны друг другу:,

Рекомендуемые материалы

т.е. одно комплексное равенство эквивалентно двум действительным.

Комплексное число  z = x + i y равно нулю, если  x = y = 0.

Суммой и произведением двух комплексных чисел называются комплексные числа

              соответственно.

Операции вычитания и деления определяются как действия обратные сложению и умножению,

что приводит к следующему результату:

                       .

Таким образом, арифметические операции над комплексными числами производятся по обычным правилам действий с двучленами, с учетом того, что . Отсюда следует, что операции над комплексными числами подчинены обычным законам арифметики: коммутативности, ассоциативности и т.д.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 5.6. Содержание технического проекта ИС.

Комплексные числа заполняют всю плоскость XOY, которую называют в этом случае комплексной плоскостью.  Множество комплексных чисел, обычно, обозначают буквой

Определение 1. Число   называется комплексно сопряженным к  z. 

Определение 2. Величина называется модулем комплексного числа.

Т.е. mod z  равен расстоянию от начала координат до т. z. Нетрудно видеть, что  

  Примеры. 1)  2) Последовательность  .    

  Замечание. На множестве комплексных чисел не определено отношение ‘больше – меньше’. Комплексные числа можно сравнивать между собой только по модулю.