- Движение сжимаемой жидкости (газа)

9. ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)

Для идеального газа уравнения состояния выражается уравнением Менделеева-Клапейрона

,

где p (МПа), r (кг), T (К) – давление, плотность и абсолютная температура газа;

      R = 29,27 (м/К) – газовая постоянная.

В общем случае скорость звука в газе a (м/с) выражается зависимостью

.

При адиабатическом процессе уравнение состояния для идеального газа принимает вид

Рекомендуемые материалы

,

а скорость звука

.

Отношение скорости потока сжимаемой жидкости w к скорости звука в ней a называется числом Маха

M.

При M < 1 - поток называется дозвуковым,

при M > 1 - сверхзвуковым,

при M = 1 - критическим.

Если M<<1 сжимаемость газа при изменении его скорости незначительна, его с достаточной точностью можно считать несжимаемым.

В дозвуковом потоке с увеличением площади его живого сечения скорость течения w уменьшается, в сверхзвуковом, наоборот, увеличивается.

Если число М < 1 (w < a), то в дозвуковом потоке, как и в потоке несжимаемой жидкости, скорость w обратно пропорциональна площади живого сечения w.

Если же М > 1, то есть когда w > a, то в сверхзвуковом потоке сжимаемой жидкости скорость w прямо пропорциональна площади живого сечения w. То есть следует вывод, прямо противоположный выводу, широко известному из гидродинамики несжимаемой жидкости.

Подобное явление в сжимаемой жидкости возможно потому, что увеличение скорости в нем вызывает не только уменьшение давления (как и в несжимаемой жидкости), но и уменьшение плотности, то есть - её расширение. Следовательно, расширение струи газа в сверхзвуковом потоке ведет к расширению самого газа в термодинамическом смысле, то есть к уменьшению давления, плотности, температуры и к увеличению скорости.

Рассмотрим, в каких условиях возможен переход дозвукового потока в сверхзвуковой и, наоборот, сверхзвукового в дозвуковой.

Пусть   имеется  поток,  в  котором  w = a,  то  есть  М = 1,0.

Установим,  в  каких  условиях может наступать равенство w = a (М = 1,0) и переход потока из одного вида в другой.

Рассмотрим две возможные конфигурации потока (струи): расширяющуюся и сужающуюся к середине (рис. 9.1).

В первом случае при дозвуковой скорости потока в начале струи скорость в ней уменьшается в направлении течения и в сечении w_max имеет минимальное значение.

При сверхзвуковой скорости потока скорость увеличивается в направлении течения и в сечении w_max имеет наибольшее значение. Следовательно, в обоих случаях скорость течения в сечении w_max может быть равной скорости звука.

Во втором случае при дозвуковой скорости потока в начале струи скорость в струе по мере уменьшения площади сечения увеличивается и в сечении w_min может стать звуковой, а затем и сверхзвуковой.

При сверхзвуковой скорости потока в начале струи скорость струи по мере уменьшения сечения также уменьшается и в сечении w_min может стать звуковой, а затем будет уменьшаться в расширяющейся части струи уже как дозвуковая скорость.

Следовательно, скорость струи может перейти значение скорости звука только в наиболее узком сечении струи. Это сечение называют критическим, а скорость звука, равную скорости течения потока, называют, как указывалось выше, критической скоростью.

Рассмотренную выше особенность струй (потоков) сжимаемых жидкостей (газов) учитывают при проектировании специальных насадок (сопел), например, в ракетостроении, которые должны обеспечить истечение сжимаемых жидкостей со сверхзвуковой скоростью из ёмкостей, где они находятся под давлением.

В честь шведского инженера Лаваля, предложившего для получения сверхзвуковых потоков плавно сужающуюся и затем плавно расширяющуюся насадку (сопло), эту насадку называют сопло Лаваля (рис. 9.1).

Сжимаемость жидкости обуславливает важное явление - образование в ней волн уплотнения и разрежения.

Как было установлено ранее, в несжимаемой жидкости возмущения, вызванные повышением или понижением давления, распространяются мгновенно. И, следовательно, в движение вовлекаются все частицы жидкости той или иной области (пространства), где возникает возмущение.

Повышение давления в какой-либо точке (области) сжимаемой жидкости вызывает в первый момент уплотнение частиц, близлежащих к источнику возмущения; в следующий момент уплотненные частицы расширяются, вызывая уплотнения других, соседних, частиц и т.д. Таким образом, повышение давления в некоторой точке (области) сжимаемой жидкости вызывает образование в ней волны уплотнения, распространяющейся с некоторой скоростью. Переднюю границу волны уплотнения называют фронтом волны.

Характер уплотнения, в зависимости от интенсивности возмущения может быть плавным или скачкообразным. Однако как бы велико ни было возмущение, вызывавшее волну уплотнения, уплотнение сжимаемой среды происходит не мгновенно, а возрастает в течении некоторого времени. Поэтому в первый момент волна уплотнения характеризуется постепенным нарастанием плотности от фронта к тылу. Причем вследствие разной степени уплотнения частиц скорости распространения отдельных точен волны будут разными. Это приводит к тому ,что более сильные уплотнения, распространяющиеся с более высокими скоростями, будут догонять передние точки волны. Поэтому через некоторое время после возникновения уплотнения наибольшее уплотнение оказывается у фронта волны. Происходит скачкообразное изменение плотности (а также давления, скорости и температуры) на фронте волны и волна уплотнения превращается в ударную волну, на фронте которой имеет место значительное выделение тепла, и таким образом поисходит рост энтропии. Это согласуется со вторым законом термодинамики, согласно которому энтропия замкнутой системы может только возрастать.

Аналогично волне уплотнения возникает в сжимаемой жидкости и волна разрежения. Так, понижение давления в некоторой точке жидкости вызывает расширение частиц, близлежащих к источнику возмещения, и уменьшение их давления на следующие частицы, которые вследствие этого тоже расширяются и т.д. Однако, в отличие от волны уплотнения во фронте волны разрежения не бывает скочкообразного изменения плотности - скачков разрежения. Образование скачков разрежения вело бы к уменьшению энтропии, а это противоречило бы второму закону термодинамики.

Более подробное изучение ударных волн в воздухе и в воде производится на соответствующих курсах применительно к решению конкретных инженерных задач.

Параметры на фронте воздушной ударной волны с избыточным давлением  Dp (МПа) вычисляются по формулам:

- скорость распространения фронта ударной волны

 м/с;

- скорость движения газа

 м/с;

- плотность воздуха

 кг/м³;

- температура воздуха

 K;

- скорость звука в воздухе

 м/с.

При  движении  газа  по  трубе  (по шлангу) диаметром d (м), длиной L (м), когда абсолютное давление в начале трубопровода равно p₁  (МПа), а в конце – p₂  (МПа), массовый расход  воздуха определяется по формуле:

 кг/с.

Плотность r₁ находится из уравнения состояния при заданной температуре наружного воздуха T K:

 кг/м³.

Коэфициент трения l определяется по эмпирическим формулам:

- для металлических труб

;

- для резиновых шлангов

Требуемый диаметр трубы (шланга) для обеспечения требуемого массового расхода M и давления в конце трубопровода p₂  вычисляется по формулам:

- металлическая труба

 м;

- резиновый шланг

 м.

Пример 1.

Определить массовый расход M  и объемный расход Q¢ (при атмосферном давлении p¢ = 0,1014 МПа) воздуха по металлической трубе длиной L = 40 м и диаметром d = 25 мм при следующих исходных данных:

- абсолютное давление в начале трубы p₁ = 0,8 МПа;

_- абсолютное давление в конце трубы   p₂ = 0,4 МПа;

_- температура воздуха T = 290 К.

Решение

Массовый расход воздуха

 кг/с.

Коэффициент трения для металлических труб

Плотность  воздуха  при  давлении  p₁ = 0,8 МПа  и  температуре  T = 290 К

Лекция 11.1 - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

кг/м³.

Объемный расход воздуха при атмосферном давлении

где плотность воздуха при атмосферном давлении