Скачкообразные МПШ

§6.Скачкообразные МПШ.

6.1. Определение. Пусть- МПШ. Будем говорить, что - скачкообразный МПШ (СМПШ), если для любых у переходной вероятности существует предел

                                                   (25)

причем при фиксированных конечный заряд на , а при фиксированных  – измеримая функция.

Определение Скачкообразный МПШ называется регулярным (РСМПШ), если сходимость в (25) равномерная по  и  равномерно непрерывная по функция.

         Приведем теперь свойства заряда, вытекающие из определения (25):

i);

 ii) ;

iii) a₁(s, x,{x}) = - a₁(s,x,Ex) = ,

Рекомендуемые материалы

где {x} – одноточечное множество.

         Обозначим 1) ;  2).

Очевидно, что и ,  связаны следующими соотношениями:

а) ;

б)– конечная мера на ;

в).

Предложение 4. Пусть – РСМПШ. Тогда  при фиксированных  является счетно-аддитивной мерой.

Доказательство. Пусть для , причем

. Тогда имеем:

Отметим, мы имеем право поменять местами пределы в силу равномерной относительно сходимости. Доказательство закончено.

Предложение 5. Пусть – РСМПШ. Тогда существует положительная константа, такая, что для.

Докажите самостоятельно.

Далее в этом параграфе будем рассматривать только РСМПШ.

6.2. Обозначим

Очевидно, что – вероятностная мера на . Приведем ее вероятностную интерпретацию. В силу (25) имеем

,

где  для , т.е. с точностью до бесконечно малого высшего порядка, - вероятность того, что  РСМПШ, находящийся в момент времени t  в состоянии x, в любой момент времени покинет его. При:

                                 ,                                           поэтому – это условная вероятность попадания в множество B в результате скачка РСМПШ из состояния x. Соотношение (25) позволяет представить переходную вероятность в виде:

, (26)

где равномерно по. Отсюда следует, что

,                                                            (27)

где– константа, не зависящая от.

6.3.Уравнение Колмогорова для РСМПШ.

6.3.1. Пусть s – фиксировано и , а – вероятностная мера на  и

. Пусть , тогда в силу марковского свойства процесса  справедливо равенство

                               (28)

Из (27) и (28) следует

.

Далее, из (26) и (28) имеем

                                                                                                                                                                    (29)

Пусть , тогда из равенства (29) имеем

где ,

Из (29) следует, что  Таким образом доказано утверждение.

Теорема 6. Пусть – множество вероятностных мер на .  Пусть   – РСПМШ и  Тогда дифференцируема по t  и удовлетворяет уравнению:

                                                                           (30)

где

6.3.2. Замечание. Если и уравнение (30) имеет единственное решение, то - переходная вероятность. Уравнение (30) называется прямым уравнением Колмогорова для РСМПШ.

6.3.3. Перейдем к выводу обратного уравнения Колмогорова. Пусть

 - фиксировано,, причем . Обозначим

.

Пусть , тогда в силу условий, имеем    

.  

Отсюда следует, что 

                       (31)

Так как получаем, что

В силу неравенства(31) последнее неравенство можно усилить, имеем

Таким образом доказано утверждение.

Теорема 7.  Пусть - РСМПШ. Тогда при

 дифференцируемо по s равномерно по x и удовлетворяет уравнению:

(33)

6.3.4. Замечание. Если  - семейство переходных вероятностей, соответствующее РСМПШ, то она удовлетворяет обратному уравнению Колмогорова:

 

6.4. В данном пункте мы установим условия, обеспечивающие разрешимость прямого и обратного уравнений Колмогорова (30) и (33), соответственно.

6.4.1. В данном разделе устанавливаются условия разрешимости уравнения (30). Сначала сформулируем условия и введем ряд обозначений.

Условие (a):

i) для  - мера на , причем ,   ;

ii) для -равномерно по  непрерывна по t;

iii) для -измеримая функция по x.

Пусть - множество конечных зарядов на . Обозначим:

- норма в .

Определение.  - называется расстоянием по вариации между зарядами ω₁ и ω₂,  а норму называют вариацией заряда. Относительно нормы  пространство  является полным линейным нормируемым пространством, т.е. банаховым пространством.

Обозначим через - пространство непрерывных функций при с нормой

Теорема 8. Пусть выполнены условия (a). Тогда уравнение

                              (30)

в имеет единственное решение.

Доказательство.  Заметим, что в силу условий а_ii) и а_iii) равномерно по   . Пусть обозначим

                                                  (34)

Если - дифференцируема по t и , то q_t дифференцируема по t и  . Верно и обратное утверждение, поэтому из (34) имеем

.              (35)

 Отсюда и из уравнения (30) для , имеем

,          (36)

где . Ясно, что i) для любых   ≤ K, ii) является мерой. Из (36) следует, что

                           (37)

Введем оператор по следующему правилу: . Очевидно, что для Q* ω  справедливы неравенства:

где обозначает n-ую степень оператора Q*. Значит, оператор Q* - сжимающий. Поэтому уравнение (37) имеет единственное решение (которое может быть найдено с помощью метода последовательных приближений ). Доказательство закончено.

6.4.2. Здесь мы приведем условия разрешимости уравнения (33).

Теорема 9.  Пусть выполнены условия (a). Тогда уравнение (33) имеет единственное решение.

Рекомендуем посмотреть лекцию "Вывести формулу для производной обратной функции".

Доказательство этого утверждения проводится аналогично доказательству теоремы 8.

6.4.3. Замечание Решение уравнения (33) может быть построено методом последовательных приближений

 

  .

где

В частности, если ,то  и , причем имеет простую вероятностную интерпретацию: - вероятность того, что у РСМПШ, начинающегося в момент времени s из точки x, в течение интервала времени (s,t) произойдет ровно n скачков, причем в результате n-ого скачка он попадет в множество B с вероятностью.