Ответы к экзамену: прорешенная теория «Кратные интегралы и ряды», факультеты МТ (кроме МТ-4 и МТ-8), РК (кроме РК-6)

Модуль 1. Кратные интегралы
1. Определение двойного интеграла. Доказать свойства двойного интеграла (линейность, интеграл от константы, интегрирование неравенств). Сформулировать свойство аддитивности. Доказать теоремы об оценке и о среднем для двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному (доказать теорему для случая f(x,y)≥0 для ∀(x,y)∈D). Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
2. Сформулировать теорему о замене переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.
3. Применения двойного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, площади поверхности, объема цилиндрического тела (ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y) , снизу поверхностью z = g(x, y) , сбоку цилиндрической поверхностью с образующими,
параллельными Oz), массы неоднородной плоской пластины, координат ее центра масс и моментов инерции (вывод всех формул).
4. Определение тройного интеграла. Доказать свойства тройного интеграла (линейность, интеграл от константы, интегрирование неравенств). Сформулировать свойство аддитивности. Доказать теоремы об оценке и о среднем для тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.
5. Сформулировать теорему о замене переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрической и сферической системах координат.
6. Приложения тройного интеграла: вычисление объема тела, его массы, координат центра масс и моментов инерции (вывод формул).
7. Несобственные двойные интегралы 1-го рода (по неограниченной области). Примеры сходящихся и расходящихся интегралов (с обоснованием). Свойство сходящихся несобственных интегралов от неотрицательных функций (без доказательства). Вычисление интеграла Пуассона (вывод).
Модуль 2. Криволинейные и поверхностные интегралы, теория поля
8. Скалярные и векторные поля. Градиент скалярного поля и его свойства. Векторные линии векторного поля и их дифференциальные уравнения.
9. Определение криволинейного интеграла 1-го рода. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода, доказать его свойства (линейность, интеграл от константы, переход к интегралам в неравенстве). Сформулировать свойство аддитивности. Доказать теоремы об оценке и о среднем. Применения криволинейного интеграла 1-го рода.
10. Определение криволинейного интеграла 2-го рода, доказать его свойства. Вычисление в декартовой системе координат. Работа векторного поля вдоль ориентированного пути. Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру.
11. Вывести формулу Грина для односвязной плоской области. Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования. Вычисление интеграла от полного дифференциала. Вывод формулы Ньютона-Лейбница. Нахождение функции по ее полному дифференциалу.
12. Поверхностный интеграл 1-го рода: определение, свойства и вычисление в декартовой системе координат. Применение поверхностного интеграла 1-го рода.
13. Поверхностный интеграл 2-го рода: определение, свойства и вычисление в декартовой системе координат. Поток векторного поля через ориентированную поверхность.
14. Теорема Гаусса-Остроградского (доказательство для односвязной и правильной области). Дивергенция векторного поля: определение и физический смысл. Вывод формулы для вычисления дивергенции в декартовой системе координат. Соленоидальное векторное поле.
15. Ротор векторного поля, его физический смысл. Формулировка теоремы Стокса. Доказать соленоидальность ротора произвольного векторного поля.

16. Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода в пространстве от пути интегрирования. Потенциальное векторное поле, доказать свойства. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода в потенциальном поле.
17. Оператор Гамильтона. Запись дифференциальных операций векторного анализа с помощью оператора Гамильтона. Оператор Лапласа. Гармонические скалярные поля. Примеры.
Модуль 3. Числовые ряды
18. Числовые ряды. Определение частичной суммы, сходимости, расходимости числового ряда, его суммы. Доказать свойства сходящихся числовых рядов. Доказать необходимое условие сходимости ряда и его следствие. Примеры.
19. Знакоположительные ряды, доказать критерий сходимости такого ряда. Доказать признаки сравнения: (а) мажорантный; (б) предельный. Доказать интегральный признак. Исследование сходимости рядов Дирихле (с выводом). Примеры.
20. Признаки сходимости Даламбера и Коши (доказать признак Даламбера). Примеры
21. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Доказать теорему о связи обычной сходимости ряда и абсолютной. Примеры.
22. Знакочередующиеся ряды. Доказать признак Лейбница с оценкой остатка ряда. Примеры.
23. Сформулировать теоремы о перестановки членов ряда, сходящегося: (а) абсолютно; (б) условно.