Сформулируйте центральную предельную теорему. Сформулируйте и докажите теорему Муавра-Лапласа
Сформулируйте центральную предельную теорему. Сформулируйте и докажите теорему Муавра-Лапласа.
Центральная предельная теорема. Пусть X1, X2, …, Xn, … - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, MXn=m, DXn=s2. Тогда , где Ф(x) – функция стандартного нормального распределения.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Обозначим Sn суммарное число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и вероятностью неудачи q=1-p. Тогда с ростом n последовательность функций распределения случайных величин сходится к функции стандартного нормального распределения, т. е. .
Доказательство. Пусть Xi – число успехов в i-м испытании. Тогда MXi=p, DXi=pq. Представляя Sn в виде Sn=X1+X2+…+Xn и используя центральную предельную теорему, приходим к утверждению теоремы.
34. Пусть – число успехов в серии из n испытаний по схеме Бернулли и n – велико.
Докажите, что в этом случае , где p – вероятность «успеха» в каждом отдельном испытании.
Д-во: