Что называют дискретной случайной величиной. Сформулируйте и докажите утверждение о виде функции распределения дискретной случайной величины
Что называют дискретной случайной величиной? Сформулируйте и докажите утверждение о виде функции распределения дискретной случайной величины.
Случайную величину Х называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.
Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины Х называют таблицу, состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней – вероятности pi=P{X=xi} того, что случайная величина примет эти значения.
Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной функцией, принимающей на промежутке (-¥, x1] значение 0, на промежутках (xi, xi+1], 1£i<n, - значения p1+…+pi и на промежутке (xn, +¥) – значение 1.
Доказательство. Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения x1,…, xn расположены в порядке возрастания. Тогда для всех x£x1 событие {X<x} является невозможным и поэтому в соответствии с определением функции распределения F(x)=0. Если x1<x£x2, то событие {X<x} состоит из тех и только тех элементарных исходов w, для которых X(w)=x1, и, следовательно, F(x)=p1. Аналогично при x2<x£x3 событие {X<x} состоит из элементарных исходов w, для которых либо X(w)=x1, либо X(w)=x2, т.е. {X<x}={X=x1}+{X=x2}, а следовательно, F(x)=p1+p2 и т. д. Наконец, при x>xn событие {X<x} достоверно и F(x)=1.