Сформулируйте и докажите теорему Чебышева и теорему Бернулли
Сформулируйте и докажите теорему Чебышева и теорему Бернулли.
Теорема Чебышева (закон больших чисел в форме Чебышева). Если последовательность X1, X2, …, Xn, … независимых случайных величин такова, что существуют MXi=mi и DXi=si2, причем дисперсии si2 ограничены в совокупности (т. е. si2 £ С < +¥), то для последовательности X1, X2, …, Xn, … выполнен закон больших чисел.
Доказательство. Теорема является элементарным следствием второго неравенства Чебышева. Действительно, в силу свойств математического ожидания и дисперсии:
;. Применяя теперь второе неравенство Чебышева к случайным величинам , получаем для любого e>0: .Т.е. выполняется закон больших чисел.
Теорема Бернулли (закон больших чисел в форме Бернулли). Пусть проводится n испытаний по схеме Бернулли и Yn – общее число успехов в n испытаниях. Тогда наблюденная частота успехов rn = Yn/n сходится по вероятности к вероятности p успеха в одном испытании, т. е. для любого e>0 .
Доказательство. Обозначим Xi число успехов в i-м испытании Бернулли. Тогда частоту успехов в n испытаниях можно определить в виде , причем MXi=p и DXi=pq. Отсюда и вытекает утверждение теоремы(ссылка на следствие из теоремы Чебышева: ).