Дайте определение ковариации двух скалярных случайных величин. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариации
Дайте определение ковариации двух скалярных случайных величин. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариации.
Ковариацией (корреляционным моментом) cov(X1, X2) случайных величин X1, X2 называют математическое ожидание произведения случайных величин 
:
.
Для дискретных случайных величин X1, X2: 
.
Для непрерывных случайных величин X1, X2:
.
D(X+Y) = DX+DY+2cov(X, Y).
Ковариация имеет следующие свойства:
1. cov(X, X) = DX
Обратите внимание на лекцию "6.1 Зарождение культуры".
2. cov(X1, X2) = 0 для независимых случайных величин X1 и X2
3. Если Yi = aiXi+bi, i=1,2, то cov(Y1, Y2) = a1a2cov(X1, X2)
4. 
5. 
для линейно зависимых X1 и X2: X2 = aX1+b
6. cov(X1, X2) = M(X1X2) – MX1 MX2.
Доказательство. Утверждение 1 вытекает из очевидного соотношения: cov(X, X) = M(X-MX)2. Если случайные величины Х1 и Х2 являются независимыми и имеют математические ожидания, то cov(X1, X2) = M((X1-MX1)(X2-MX2) = (M(X1-MX2))(M(X2-MX2)), откуда приходим к утверждению 2. Пусть Y1 = a1X1+b1, Y2 = a2X2+b2. Тогда cov(Y1, Y2) = M((Y1-MY1)(Y2-MY2)) = M((a1X1+b1-a1MX1-b1)(a2X2+b2-a2MX2-b2)) = M(a1a2(X1-MX1)(X2-MX2)). Поэтому справедливо утверждение 3. Рассмотрим дисперсию случайной величины Yx = xX1-X2, где х – произвольное число. В силу свойств дисперсии и свойства 3 ковариации DYx = D(xX1)+2cov(xX1,-X2)+D(-X2) = x2DX1-2xcov(X1, X2)+DX2. Дисперсия DYx, как функции от x, представляет собой квадратный трехчлен. Но дисперсия любой случайной величины не может быть меньше нуля, а это означает, что дискриминант D = (2cov(X1, X2))2-4DX1DX2 квадратного трехчлена DYx является неположительным, т. е. имеет место утверждение 4. Далее, пусть выполнено равенство 5. Значит дискриминант равен нулю, и уравнение DYx = 0 имеет решение, которое обозначим a. Тогда случайная величина Ya = aX1-X2 принимает всего одно значение (допустим, b), и, следовательно, X2 = aX1+b. Наоборот, пусть выполнено X2 = aX1+b. Тогда в соответствии со свойством 1 дисперсии DYx = 0, а значит дискриминант является неотрицательным. Поскольку при доказательстве свойства 4 было показано, что этот дискриминант неположителен, то он равен нулю, откуда следует . Утверждение 6 получается раскрытием скобок в формуле ковариации и использованием свойств математического ожидания.
