Дайте определение ковариационной матрицы случайного вектора. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариационной матрицы
Дайте определение ковариационной матрицы случайного вектора. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариационной матрицы.
Матрицей ковариаций (ковариационной матрицей) случайного вектора называют матрицу , состоящую из ковариаций случайных величин Xi и Xj.
Свойства матрицы ковариаций.
1. Матрица ковариаций является симметрической.
2. Пусть m-мерный случайный вектор получен из n-мерного случайного вектора с помощью линейного преобразования B, т. е. . Тогда матрица ковариаций случайного вектора связана с матрицей ковариаций случайного вектора соотношением .
3. Матрица ковариаций является неотрицательно определенной, т. е. для всех векторов
Доказательство. Утверждение 1 следует из определения матрицы ковариаций. Пусть матрица В линейного преобразования имеет вид B = (bij). Вычислим ковариацию случайных величин Yi и Yj: . Записывая последнее равенство в матричной форме, получаем утверждение 2. Для доказательства утверждения 3 рассмотрим скалярную случайную величину . В случае скалярной случайной величины Y ее дисперсия , и поэтому в соответствии с утверждением 2 имеем: , откуда в силу неотрицательности дисперсии получаем утверждение 3.